在平面直角坐标系中，$A\text{=}\left( 1\text{,}0 \right)\text{,}B\text{=}\left( 2\text{,}2\sqrt{3} \right)$ 。作等边 $\Delta ABC$ 使得 $C$ 落在第一象限．$P=\left( x\text{,}y \right)$ 为 $\Delta ABC$ 中心。那么 $x\cdot y$ 可以被写作 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p\text{,}r$ 为互质正整数，$q$ 为没有平方因子的正整数。求 $p+q+r$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
040
【解析】
$B-A=\left(1,2\sqrt{3} \right)$ 。 $AB$ 垂直平分线上的点参数形式为 $\left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}},\frac{-1}{\sqrt{13}} \right)t+\left(\frac{3}{2}\text{,}\sqrt{3} \right)$ 。因为 $\Delta BMP$ 是 $30-60-90$ 的三角形，$MB\text{=}\frac{\sqrt{13}}{2}$，于是 $MP=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$ 。 $P\text{=}\left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\text{,}\frac{-1}{\sqrt{13}} \right)\left(\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \right)+\left( \frac{3}{2}\text{,}\sqrt{3}\right)\text{=}\left( \frac{5}{2}\text{,}\frac{5}{2\sqrt{3}} \right)$ 。因此 $xy\text{=}\frac{25\sqrt{3}}{12}\top+q+r\text{=}25+3+12\text{=}040$
答案
解析
备注
