内接于圆的一六边形边长分别顺序依次为 $22,22,20,22,22,20$ 。其外接圆的半径可被写作 $p+\sqrt{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为正整数。求 $p+q$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
272
【解析】
设六边形为 $ABCDEF$，且 $AB=CD=DE=AF=22\text{,}BC=EF=20$ 。设 $\angle AOB\text{=}2\theta $，圆半径为 $r$ 。则 $\sin \theta\text{=}\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{2r}\text{=}\frac{11}{r}\text{,}\cos 2\theta\text{=}\frac{BC}{2r}\text{=}\frac{10}{r}$ 。因为 $\cos 2\theta\text{=}1\text{-}2{{\sin }^{2}}\theta $，所以
$\left\{\begin{matrix}
r>0 \\
\frac{10}{r}\text{=}1-2{{\left(\frac{11}{r} \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow r\text{=}5+\sqrt{267}$ 故所求值为 $ 5+267\text{=}272$
$\left\{\begin{matrix}
r>0 \\
\frac{10}{r}\text{=}1-2{{\left(\frac{11}{r} \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow r\text{=}5+\sqrt{267}$ 故所求值为 $ 5+267\text{=}272$
答案
解析
备注
