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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25771 597e83e6d05b9000091650a6 高中 解答题 高中习题 等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB = CD$，$ABCD$ 的内切圆与腰 $CD$ 切于点 $M$，$AM,BM$ 分别与内切圆交于点 $P,T$，求 $\dfrac{{AM}}{{AP}} + \dfrac{{BM}}{{BT}}$． 2022-04-17 20:56:48
25766 5985e71b5ed01a0008fa5e86 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列． 2022-04-17 20:55:48
25732 5909808b39f91d0008f05012 高中 解答题 高中习题 已知锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=60^\circ$，$P$ 为 $AB$ 中点，$Q$ 为外接圆上弧 $AC$（不包含点 $B$）的中点，$H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心．如果 $P,H,Q$ 三点共线，求 $\angle A$． 2022-04-17 20:38:48
25725 597e989cd05b900009165186 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B,C,D,X$ 为圆周上依次排列的五个点，已知 $\angle AXB = \angle BXC = \angle CXD$，$AX = a$，$BX = b$，$CX = c$，求 $DX$ 的长． 2022-04-17 20:34:48
25724 590ae4706cddca0008610f81 高中 解答题 高中习题 设 $A,B,C,D,X$ 为圆周上依次排列的五个点，已知 $\angle AXB = \angle BXC = \angle CXD$，$AX = a$，$BX = b$，$CX = c$，求 $DX$ 的长． 2022-04-17 20:33:48
25690 598db6cad7711f00088147b5 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 是边 $BC$ 上的点，且 $BD=CE$，求证：$AB+AC>AD+AE$． 2022-04-17 20:15:48
25588 5909883d39f91d0009d4c05f 高中 解答题 高中习题 如图，圆 $O$ 的半径为 $r$，直角三角形 $ABC$ 的顶点 $A,B$ 在圆 $O$ 上，$\angle B$ 为直角，$\angle A$ 的大小为 $\theta$，$C$ 在圆内部（包括边界）．当点 $A$ 在圆 $O$ 上运动时，求 $OC$ 的最小值． 2022-04-17 20:18:47
25399 5909873b39f91d0007cc938d 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 内一点 $D$ 满足 $\angle BAD=\angle BCD$，且 $\angle BDC=90^\circ$．已知 $AB=5$，$BC=6$，$M$ 为 $AC$ 中点，求 $DM$． 2022-04-17 20:34:45
25393 59098f6e38b6b400072dd206 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$X,Y$ 是直线 $BC$ 上两点（$X,B,C,Y$ 顺次排列），使得$$BX\cdot AC=CY\cdot AB.$$设 $\triangle ACX,\triangle ABY$ 的外心分别为 $O_1,O_2$，直线 $O_1O_2$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $U,V$．证明：$\triangle AUV$ 是等腰三角形． 2022-04-17 20:30:45
25307 5912711fe020e700094b0b24 高中 解答题 自招竞赛 已知六边形 $A{C_1}B{A_1}C{B_1}$ 中，
① $A{C_1} = A{B_1}$，$B{C_1} = B{A_1}$，$C{A_1} = C{B_1}$；
② $\angle A + \angle B + \angle C = \angle {A_1} + \angle {B_1} + \angle {C_1}$．
求证：$\triangle ABC$ 面积是六边形 $A{C_1}B{A_1}C{B_1}$ 的一半．		 2022-04-17 20:38:44
24629 596316243cafba000ac43e14 高中 解答题 自招竞赛 如图，$D,E,F$ 分别是 $\triangle{ABC}$ 的边 $BC,CA,AB$ 上的点，且 $DE\cap AB=F_0$，$EF\cap BC=D_0$，$FD\cap CA=E_0$．证明：$AD,BE,CF$ 三线共点，当且仅当 $D_0,E_0,F_0$ 三点共线． 2022-04-17 20:31:38
24183 5985e7195ed01a000ba75b50 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列． 2022-04-17 20:21:34
23980 59b73808b049650008cb671c 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1:y^2=4x$，曲线 $C_2:(x-4)^2+y^2=8$．经过 $C_1$ 上一点 $P$ 作一条倾斜角为 $45^\circ$ 的直线 $l$，与 $C_2$ 交于两个不同的点 $Q,R$，求 $|PQ|\cdot |PR|$ 的取值范围． 2022-04-17 20:31:32
23871 59082996060a05000a4a9810 高中 解答题 高中习题 已知直线 $l:y=kx$ 与圆 $C:x^2+(y-4)^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点． 2022-04-17 20:32:31
23830 59b73325b049650008cb66ed 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\omega$ 上弧 $BC$ 的中点，直线 $DA$ 与圆 $\omega$ 过点 $B,C$ 的切线分别相交于点 $P,Q$，$BQ$ 与 $AC$ 的交点为 $X$，$CP$ 与 $AB$ 的交点为 $Y$，$BQ$ 与 $CP$ 的交点为 $T$．求证：$AT$ 平分线段 $XY$． 2022-04-17 20:13:31
23828 59b73402b049650008cb66f6 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心．以 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径作圆 $\varGamma_1$，以 $I$ 为圆心，$IB$ 为半径作圆 $\varGamma_2$，过点 $B,I$ 的圆 $\varGamma_3$ 与 $\varGamma_1,\varGamma_2$ 分别交于点 $P,Q$（不同于点 $B$）．设 $IP$ 与 $BQ$ 交于点 $R$．证明：$BR\perp CR$． 2022-04-17 20:12:31
23090 590bdbe06cddca000a081b32 高中 解答题 高中习题 如图，已知半径为 $1$ 的半圆 $O$ 以及圆外一点 $A$，$OA=2$．点 $B$ 为圆 $O$ 上任意一点，以 $AB$ 为底向外作正三角形 $ABC$． 2022-04-17 20:21:24
23012 5911256ae020e700094b08b6 高中 解答题 高中习题 已知圆 $E:(x-2)^2+y^2=3$，设直线 $l_1:x-my-1=0$ 交圆 $E$ 于 $A,C$ 两点，直线 $l_2:mx+y-m=0$ 交圆 $E$ 于 $B,D$ 两点．线段 $AB,CD$ 分别位于 $x$ 轴的上方和下方．当 $CD$ 的斜率为 $-1$ 时，求线段 $AB$ 的长． 2022-04-17 20:38:23
22944 592418c682e8bd0007791fd9 高中 解答题 高中习题 如图，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内部一点，且 $\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP$，求证：$BC^2=AC\cdot AB$． 2022-04-17 20:04:23
22920 59265f87ee79c200093397f9 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与坐标轴交于 $A,B,C$ 三点．求证：$\triangle ABC$ 的外接圆恒过一定点 $P$． 2022-04-17 20:52:22
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