已知圆 $E:(x-2)^2+y^2=3$，设直线 $l_1:x-my-1=0$ 交圆 $E$ 于 $A,C$ 两点，直线 $l_2:mx+y-m=0$ 交圆 $E$ 于 $B,D$ 两点．线段 $AB,CD$ 分别位于 $x$ 轴的上方和下方．当 $CD$ 的斜率为 $-1$ 时，求线段 $AB$ 的长．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2$
【解析】
注意到直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 是过 $F(1,0)$ 且互相垂直的两条直线．在这样浓厚的几何色彩下，我们选择利用三角知识解决问题．
取 $CD$ 的中点 $M$，连接 $FM,EM,EC$．由 $CD$ 的斜率为 $-1$ 可得 $\angle FEM=45^\circ$，在 $\triangle FEM$ 中应用余弦定理，有$$FM^2=FE^2+EM^2-2FE\cdot EM\cdot\cos 45^\circ,$$又 $FM^2=EC^2-EM^2$，代入数据可得$$EM=\sqrt 2,FM=1,$$进而 $FM\perp FE$，因此 $\angle FMD=45^\circ$，于是 $\angle FCD=22.5^\circ$，进而$$FC=2\cos 22.5^\circ,FD=2\sin 22.5^\circ.$$根据圆幂定理，有$$DF\cdot FB=CF\cdot FA=EC^2-EF^2=2,$$从而$$AB^2=AF^2+BF^2=\dfrac{1}{\cos^222.5^\circ}+\dfrac{1}{\sin^222.5^\circ}=\dfrac{4}{\sin^245^\circ} =8,$$因此线段 $AB$ 的长为 $2\sqrt 2$．
取 $CD$ 的中点 $M$，连接 $FM,EM,EC$．由 $CD$ 的斜率为 $-1$ 可得 $\angle FEM=45^\circ$，在 $\triangle FEM$ 中应用余弦定理，有$$FM^2=FE^2+EM^2-2FE\cdot EM\cdot\cos 45^\circ,$$又 $FM^2=EC^2-EM^2$，代入数据可得$$EM=\sqrt 2,FM=1,$$进而 $FM\perp FE$，因此 $\angle FMD=45^\circ$，于是 $\angle FCD=22.5^\circ$，进而$$FC=2\cos 22.5^\circ,FD=2\sin 22.5^\circ.$$根据圆幂定理，有$$DF\cdot FB=CF\cdot FA=EC^2-EF^2=2,$$从而$$AB^2=AF^2+BF^2=\dfrac{1}{\cos^222.5^\circ}+\dfrac{1}{\sin^222.5^\circ}=\dfrac{4}{\sin^245^\circ} =8,$$因此线段 $AB$ 的长为 $2\sqrt 2$．
答案
解析
备注
