如图，已知半径为 $1$ 的半圆 $O$ 以及圆外一点 $A$，$OA=2$．点 $B$ 为圆 $O$ 上任意一点，以 $AB$ 为底向外作正三角形 $ABC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求四边形 $OACB$ 面积的最大值；标注答案$2+\dfrac{5\sqrt 3}4$解析将四边形划分为两个均以 $AB$ 为底的三角形．
为了求四边形 $OACB$ 面积的最大值，我们引入变量 $x=\angle AOB$，$x\in\left[ 0,\pi\right]$．建立四边形 $OACB$ 面积与 $x$ 的函数关系式\[\begin{split}S(x)&=\dfrac 12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin x+\dfrac{\sqrt 3}4\left(OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot\cos x\right)\\&=\sin x-\sqrt 3\cos x+\dfrac {5\sqrt 3}4\\&=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}3\right)+\dfrac{5\sqrt 3}4,\end{split}\]于是当 $x=\dfrac{5\pi}6$ 时，$S(x)$ 取得最大值 $2+\dfrac{5\sqrt 3}4$． -
求线段 $OC$ 长度的最大值．标注答案$ 3 $解析将 $O$ 绕点 $A$ 旋转 $\dfrac{\pi}3$ 到 $O'$，则三角形 $AOB$ 与三角形 $AO'C$ 旋转全等，如图．
于是 $OC$ 的最大值为 $OO'+O'C=3$，当且仅当 $\angle AOB=\dfrac{2\pi}3$ 时取得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
