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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19462 5d3050b9210b28021fc7891d 高中 解答题 自招竞赛 一张 $n\times n$ 的方格表，称有公共边的方格是相邻的．
开始时每个方格中都写着 $+1$，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号．
求所有的正整数 $n\geqslant 2$，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变为 $-1$．		 2022-04-17 19:48:50
19461 5d3015f6210b280220ed6485 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $P$ 为锐角 $\triangle ABC$ 内部任意一点，点 $EF$ 分别为 $P$ 在边 $AC,AB$ 上的射影．$BP,CP$ 的延长线分别交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $B_1 , C_1$，设 $\triangle ABC$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R$ 和 $r$．求证：$\dfrac{E F}{B_{1} C_{1}} \geqslant \dfrac{r}{R}$，并确定等号成立时点P的位置． 2022-04-17 19:48:50
19456 5d31266b210b280220ed64ef 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $M \subseteq\{1,2, \cdots, 2011\}$，满足：在 $M$ 的任意三个元素中，都可以找到两个元素 $a、b$，使得 $a|b$ 或 $b|a$．求 $|M|$ 的最大值（其中 $|M|$ 表示集合 $M$ 的元素个数）． 2022-04-17 19:46:50
19455 5d312923210b28021fc78949 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$．
（1）求证：可以将集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的所有子集适当地排列为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，使得 $A_i$ 与 $A_{i+1}$ 的元素个数恰相差 $ 1$，其中 $i=1,2, \cdots, 2^{n}$ 且 $A_{2^{n}+1}=A_{1}$；
（2）对于满足（1）中条件的子集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}(-1)^iS(A_i)$ 的所有可能值，其中 $\displaystyle S(A_i)=\sum\limits_{x\in A_i}x,S(\varnothing)=0$．		 2022-04-17 19:46:50
19443 5d352031210b28021fc789b6 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $n$，使得集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 有 $n$ 个两两不同的三元子集 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，满足对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，都有 $|A_i \bigcap A_j| \ne1$． 2022-04-17 19:39:50
19439 5d3546f4210b280220ed6607 高中 解答题 自招竞赛 有 $n(n\geqslant 3)$ 名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场．如果选手 $A$ 的手下败将不都是 $B$ 的手下败将，则称 $A$ 不亚于 $B$．试求所有可能的 $n$，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚千其他任何一名选手． 2022-04-17 19:36:50
19423 5d366dc2210b280220ed66b6 高中 解答题 自招竞赛 有 $n(n>12)$ 个人参加某次数学邀请赛，试卷由 $15$ 个填空题组成，每答对 $ 1$ 题得 $1$ 分，不答或答错得 $ 0$ 分．分析每一 种可能的得分情况，发现：只要其中任意 $12$ 个人得分之和不少于 $36$ 分，则这 $n$ 个人中至少有 $3$ 个人答对了至少 $3$ 个同样的题．求 $n$ 的最小可能值． 2022-04-17 19:28:50
19417 5d36980e210b280220ed6726 高中 解答题 自招竞赛 在一直线上相邻两点的距离都等于 $1$ 的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中 心跳到其对称点上．
证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点 之间的距离不能都等于 $ 2008$．		 2022-04-17 19:25:50
19398 5d37c405210b280220ed67e7 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n(\geqslant 2)$，求 $|X|$ 的最小值，使得对集一合 $X$ 的任意 $n$ 个二元子集 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$，都存在集合 $X$ 的一个子集 $Y$，满足：
（1）$|Y|=n$；
（2）对 $i=1,2, \cdots, n$，都有 $\left|Y \cap B_{i}\right| \leqslant 1$．
这里 $|A|$ 表示有限集合 $A$ 的元素个数．		 2022-04-17 19:14:50
19397 5d37cbd1210b28021fc78b71 高中 解答题 自招竞赛 已知 $T= \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，对于 $A \subseteq T, A\ne\varnothing$，定义 $S(A)$ 为 $A$ 中所有元素之和，问：$T$ 有多少个非空子集 $A$，使得 $S(A)$ 为 $3$ 的倍数，但不是 $5$ 的倍数？ 2022-04-17 19:13:50
19390 5d381555210b28021fc78bdf 高中 解答题 自招竞赛 将 $n$ 个白子与 $n$ 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以 $1,2, \cdots, n$．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以 $1,2, \cdots, n$．证明：存在 连续 $n$ 个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为 $\{1,2, \cdots, n\}$． 2022-04-17 19:09:50
19381 5d39294d210b280220ed696b 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 个新生中，任意 $3$ 个人中有 $2$ 个人互相认识，任意 $ 4$ 个人中有 $2$ 个人互不认识．试求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 19:05:50
19374 5d395b6b210b28021fc78c92 高中 解答题 自招竞赛 将 $m\times n$ 棋盘（由 $m$ 行 $n$ 列方格构成，$m\geqslant 3,n\geqslant 3$）的所有小方格都染上红蓝二色之一．如果两个相邻（有公共边）的 小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对“．设棋盘中“标准对＂的个数为 $S$．试问：$S$ 是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下 $S$ 为奇数？什么情况下 $S$ 为偶数？说明理由． 2022-04-17 19:02:50
19371 5d3a6083210b28021fc78cd5 高中 解答题 自招竞赛 将 $1、2、3、4、5、6、7、8$ 分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于 $10$．求每一面上四个数之和的最小值． 2022-04-17 19:00:50
19365 5d3aa356210b280220ed6aa5 高中 解答题 自招竞赛 $1650$ 个学生排成 $22$ 行、$75$ 列已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过 $11$ 对．证明：男生的个数不超过 $928$． 2022-04-17 19:57:49
19305 5d3ac0e9210b280220ed6ad4 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为 正 整数，集合 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n+1}$ 是 集 合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的 $n + 1$ 个非空子集．证明：存 在 $\{1,2, \cdots, n+1\}$ 的两个不交的非空子集 $\left\{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{k}\right\}$ 和 $\{ j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{m} \}$，使得 $A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}=A_{j_{1}} \bigcup A_{j_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{j_{n}}$． 2022-04-17 19:26:49
19301 5d3add7d210b28021fc78d90 高中 解答题 自招竞赛 设 ${S}=\left({a}_{1}, {a}_{2}, \cdots, {a}_{{n}}\right)$ 是一个由 $0,1 $ 组成的满足下述条件的最长的数列：数列 $ S$ 中任意两个连续的 $5$ 项不同，即对任意 $1 \leqslant i<j \leqslant n-4, a_{i}, a_{i+1},a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4}$ 与 $a_{j}, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4}$ 不相同．证明：数列 $ S $ 最前面的 $4 $ 项与最后面的 $ 4 $ 项相同． 2022-04-17 19:25:49
19275 5d42583b210b28021fc7911f 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{(a, b) | a \in\{1,2, \dots, m\}, b \in\{1,2, \cdots, n\}\}$ 为平面点集，其中正整数 $m \geqslant 2, n \geqslant 3$，$ A$ 为 $S$ 的子集．若 $A$ 满足：不存在正整数 $x_1,x_{2}, y_{1}, y_{2}, y_{3}$，使得 $x_{1}<x_{2}, y_{1}<y_{2}<y_{3}$，且 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{1}, y_{2}\right),\left(x_{1}, y_{3}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in A$，求 $A$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 19:10:49
19274 5d412df2210b28021fc79078 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots, n)$，若函数 $f=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的值只取 $0$ 或 $1$，则称 $f$ 是一个 $n$ 元布尔函数，并记 $D_{n}(f)=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \dots\right.\right.x_{n} ) | f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=0 \}$．
（1）求 $n$ 元布尔函数的个数；
（2）设 $g$ 是十元布尔函数，满足 $\begin{aligned} g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}\right) \equiv 1+x_{1}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{2} x_{3}+\cdots+x_{1} x_{2} \cdots x_{10}(\bmod 2) \end{aligned}$
求集合 $D_{10}(g)$ 的元素个数，并求 $\displaystyle \sum\limits_{\left(x_{1}, \cdots, x_{10}\right) \in D_{10}(g)}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{10}\right)$．		 2022-04-17 19:10:49
19262 5d427bdc210b280220ed6f57 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots, n)$，若函数 $f=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的值只取 $0$ 或 $1$，则称 $f$ 是一个 $n$ 元布尔函数，并记 $D_{n}(f)=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \dots\right.\right.x_{n} ) | f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=0 \}$．
（1）求 $n$ 元布尔函数的个数；
（2）设 $g$ 是 $n$ 元布尔函数，满足 $\begin{aligned} g\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}\right) \equiv 1+x_{1}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{2} x_{3}+\cdots+x_{1} x_{2} \cdots x_{n}(\bmod 2) \end{aligned}$
求集合 $D_{10}(g)$ 的元素个数，并求 最大的正整数 $n$，使得 $\displaystyle \sum\limits_{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in D_{n}(g)}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\leqslant 2017$．		 2022-04-17 19:03:49
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