将 $m\times n$ 棋盘（由 $m$ 行 $n$ 列方格构成，$m\geqslant 3,n\geqslant 3$）的所有小方格都染上红蓝二色之一．如果两个相邻（有公共边）的 小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对“．设棋盘中“标准对＂的个数为 $S$．试问：$S$ 是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下 $S$ 为奇数？什么情况下 $S$ 为偶数？说明理由．
【难度】
【出处】
2004年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
把所有方格分为 $3$ 类．第一类方格位于棋盘的四个角上，第二类方格位于棋盘的边界（不包括四个角）上，其余的方格 为第三类．
将所有红色方格填上数 $1$，所有蓝色方格填上数 $-1$．记第一 类方格的填数分别为 $a、b、c、d$．第二类方格的填数分别为 $x_1,x_{2}, \cdots, \quad x_{2 m}+2 n-8$，第三类方格的填数分别为 $y_{1}, y_{2}, \cdots,y_{(m-2)(n-2)}$，对任何两个相邻的方格，在它们的公共边上标上这两 个方格内标数的积．设所有公共边上的标数的积为 $H$．
对每个第一 类格，它有两个邻格，所以它的标数在 $H$ 中出现两次，对每个第二类格，它有 $3$ 个邻格，所以它的标数在 $H$ 中出现 $3$ 次，对每个第三类格，它有 $4$ 个邻格，所以它的标数在 $H$ 中出现 $4$ 次，于是
$\begin{aligned} H &=(a b c d)^{2}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}\right)^{3}\left(y_{1} y_{2} \cdots y_{(m-2)(n-2)}\right)^{4} =\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}\right)^{3} \end{aligned}$
当 $x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}=1$ 时，$H=1$，此时有偶数个标准对；当 $x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}=-1$ 时，$H=-1$，此时有奇数个标准对．这表明：$S$ 的奇偶性由第二类格的颜色确定．而且，当第二类格中有奇数个蓝色格时，$s$ 为奇数．当第二类格中有偶数个蓝色格时，$S$ 为偶数．
证法二
所有方格分为 $3$ 类．第一类方格位于棋盘的四个角上，第二类方格位于棋盘的边界（不包括四个角）上，其余的方格为第三类．
如果所有方格都是红格，则 $S=0$ 为偶数．如果方格中有蓝 格，则任取其中一个蓝格 $A$，将 $A$ 改变为红色．
（1）若 $A$ 是第一类格，设 $A$ 的 $2$ 个邻格中有 $k$ 个红格，$2-k$ 个蓝格，则将 $A$ 变为红色后，标准对个数增加了 $2-k-k=2-2k$．所以 $S$ 的奇偶性不改变．
（2）若 $A$ 是第二类格，设 $A$ 的 $3$ 个邻格中有 $p$ 个红格，$3-p$ 个蓝格，则将 $A$ 变为红色后，标准对个数增加了 $3-p-p=3- 2p$．所以 $S$ 的奇偶性改变．
（3）若 $A$ 是第三类格，设 $A$ 的 $4$ 个邻格中有 $q$ 个红格，$4-q$ 个蓝格，则将 $A$ 变为红色后，标准对个数增加了 $4-q-q= 4-2q$．所以 $S$ 的奇偶性不改变．
如果操作后棋盘中还有蓝色格，则再进行类似的操作，直至所 有方格为红色为止，此时 $S$ 变为 $0$．
显然，当第二类格中有奇数个蓝色格时，$S$ 改变奇数次奇偶性；当第二类格中有偶数个蓝色格时，$S$ 改变偶数次奇偶性．所以 $S$ 的奇偶性由第二类格的颜色确定，且当第二类格中奇数个蓝色格时，$S$ 为奇数；当第二类格中有偶数个蓝色格时，$S$ 为偶数．
把所有方格分为 $3$ 类．第一类方格位于棋盘的四个角上，第二类方格位于棋盘的边界（不包括四个角）上，其余的方格 为第三类．
将所有红色方格填上数 $1$，所有蓝色方格填上数 $-1$．记第一 类方格的填数分别为 $a、b、c、d$．第二类方格的填数分别为 $x_1,x_{2}, \cdots, \quad x_{2 m}+2 n-8$，第三类方格的填数分别为 $y_{1}, y_{2}, \cdots,y_{(m-2)(n-2)}$，对任何两个相邻的方格，在它们的公共边上标上这两 个方格内标数的积．设所有公共边上的标数的积为 $H$．
对每个第一 类格，它有两个邻格，所以它的标数在 $H$ 中出现两次，对每个第二类格，它有 $3$ 个邻格，所以它的标数在 $H$ 中出现 $3$ 次，对每个第三类格，它有 $4$ 个邻格，所以它的标数在 $H$ 中出现 $4$ 次，于是
$\begin{aligned} H &=(a b c d)^{2}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}\right)^{3}\left(y_{1} y_{2} \cdots y_{(m-2)(n-2)}\right)^{4} =\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}\right)^{3} \end{aligned}$
当 $x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}=1$ 时，$H=1$，此时有偶数个标准对；当 $x_{1} x_{2} \cdots x_{2 m+2 n-8}=-1$ 时，$H=-1$，此时有奇数个标准对．这表明：$S$ 的奇偶性由第二类格的颜色确定．而且，当第二类格中有奇数个蓝色格时，$s$ 为奇数．当第二类格中有偶数个蓝色格时，$S$ 为偶数．
证法二
所有方格分为 $3$ 类．第一类方格位于棋盘的四个角上，第二类方格位于棋盘的边界（不包括四个角）上，其余的方格为第三类．
如果所有方格都是红格，则 $S=0$ 为偶数．如果方格中有蓝 格，则任取其中一个蓝格 $A$，将 $A$ 改变为红色．
（1）若 $A$ 是第一类格，设 $A$ 的 $2$ 个邻格中有 $k$ 个红格，$2-k$ 个蓝格，则将 $A$ 变为红色后，标准对个数增加了 $2-k-k=2-2k$．所以 $S$ 的奇偶性不改变．
（2）若 $A$ 是第二类格，设 $A$ 的 $3$ 个邻格中有 $p$ 个红格，$3-p$ 个蓝格，则将 $A$ 变为红色后，标准对个数增加了 $3-p-p=3- 2p$．所以 $S$ 的奇偶性改变．
（3）若 $A$ 是第三类格，设 $A$ 的 $4$ 个邻格中有 $q$ 个红格，$4-q$ 个蓝格，则将 $A$ 变为红色后，标准对个数增加了 $4-q-q= 4-2q$．所以 $S$ 的奇偶性不改变．
如果操作后棋盘中还有蓝色格，则再进行类似的操作，直至所 有方格为红色为止，此时 $S$ 变为 $0$．
显然，当第二类格中有奇数个蓝色格时，$S$ 改变奇数次奇偶性；当第二类格中有偶数个蓝色格时，$S$ 改变偶数次奇偶性．所以 $S$ 的奇偶性由第二类格的颜色确定，且当第二类格中奇数个蓝色格时，$S$ 为奇数；当第二类格中有偶数个蓝色格时，$S$ 为偶数．
答案
解析
备注
