$1650$ 个学生排成 $22$ 行、$75$ 列已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过 $11$ 对．证明：男生的个数不超过 $928$．
【难度】
【出处】
2003年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设第 $i$ 行的男生数为 $ a_i$，则女生数为 $75-a_i$．依题意，可知 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(C_{a_{i}}^{2}+C_{75-a_{i}}^{2}\right) \leqslant 11 \times C_{75}^{2}$，
这是因为任意给定的两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生不超过 $11$ 对，故所有性别相同的两人对的个数不大于 $11 \times \mathrm{C}_{75}^{2}$．
于是，我们有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(a_{i}^{2}-75 a_{i}\right) \leqslant-30525$，即 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)^{2} \leqslant 1650$．
利用柯西不等式，可知 $\displaystyle \left[\sum\limits_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)\right]^{2} \leqslant 22 \sum_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)^{2} \leqslant 36300$，因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)<191$，从而 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22} a_{i}<\frac{191+1650}{2}<921$．
所以，男生的个数不超过 $928$．
这是因为任意给定的两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生不超过 $11$ 对，故所有性别相同的两人对的个数不大于 $11 \times \mathrm{C}_{75}^{2}$．
于是，我们有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(a_{i}^{2}-75 a_{i}\right) \leqslant-30525$，即 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)^{2} \leqslant 1650$．
利用柯西不等式，可知 $\displaystyle \left[\sum\limits_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)\right]^{2} \leqslant 22 \sum_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)^{2} \leqslant 36300$，因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22}\left(2 a_{i}-75\right)<191$，从而 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{22} a_{i}<\frac{191+1650}{2}<921$．
所以，男生的个数不超过 $928$．
答案
解析
备注
