设 ${S}=\left({a}_{1}, {a}_{2}, \cdots, {a}_{{n}}\right)$ 是一个由 $0,1 $ 组成的满足下述条件的最长的数列：数列 $ S$ 中任意两个连续的 $5$ 项不同，即对任意 $1 \leqslant i<j \leqslant n-4, a_{i}, a_{i+1},a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4}$ 与 $a_{j}, a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, a_{j+4}$ 不相同．证明：数列 $ S $ 最前面的 $4 $ 项与最后面的 $ 4 $ 项相同．
【难度】
【出处】
2002年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
若 $S$ 的前 $4$ 项与最后 $4$ 项不相同，设 $S$ 的最后 $4$ 项为 $abcd$．由于 $S$ 为最长的具有题中性质的数列，从而，在 $S$ 后添加 $0$ 或 $1$ 后，所形成的 $5$ 数段 $abcd0$ 和 $abcd1$ 必在 $S$ 中出现，即存在 $i \neq j, i, j \in\{2,3, \cdots,5\}$，使得
$a_{i} a_{i+1} \cdots a_{i+4}=a b o d 0, a_j a_{j+1} \cdots a_{j+4}=a b c d 1$．
考虑 $a_{i-1}, a_{j-1}$ 与 $a_{n-5}$ 这 $3$ 个数，其中必有 $2$ 个数相同．
若 $a_{i-1}=a_{j-1}$，则 $a_{i-1} \cdots a_{i+3}=a_{j-1} \cdots a_{j+3}$，从而，$S$ 中有 $2$ 个相同的 $5$ 数段，矛盾．
另外的情形将推出同样的矛盾．
所以，命题成立．
若 $S$ 的前 $4$ 项与最后 $4$ 项不相同，设 $S$ 的最后 $4$ 项为 $abcd$．由于 $S$ 为最长的具有题中性质的数列，从而，在 $S$ 后添加 $0$ 或 $1$ 后，所形成的 $5$ 数段 $abcd0$ 和 $abcd1$ 必在 $S$ 中出现，即存在 $i \neq j, i, j \in\{2,3, \cdots,5\}$，使得
$a_{i} a_{i+1} \cdots a_{i+4}=a b o d 0, a_j a_{j+1} \cdots a_{j+4}=a b c d 1$．
考虑 $a_{i-1}, a_{j-1}$ 与 $a_{n-5}$ 这 $3$ 个数，其中必有 $2$ 个数相同．
若 $a_{i-1}=a_{j-1}$，则 $a_{i-1} \cdots a_{i+3}=a_{j-1} \cdots a_{j+3}$，从而，$S$ 中有 $2$ 个相同的 $5$ 数段，矛盾．
另外的情形将推出同样的矛盾．
所以，命题成立．
答案
解析
备注
