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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19384 5d391e1a210b280220ed6936 高中 解答题 自招竞赛 如图圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 交于 $A、B$ 两点．过点 $O_1$ 的直线 $DC$ 交圆 $O_1$ 于D且切圆 $O_2$ 于 $C$，$CA$ 切圆 $O_1$ 于 $A$，圆 $O_1$ 的弦 $AE$ 与直线 $DC$ 垂直．过 $A$ 作 $AF$ 垂直于 $DE$，$F$ 为垂足．求证：$BD$ 平分线段 $AF$． 2022-04-17 19:07:50
19383 5d39204c210b280220ed6946 高中 解答题 自招竞赛 在等腰直角 $\triangle ABC$ 中，$CA=CB= 1$，点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 边界上任意一点，求 $P A \cdot P B \cdot P C$ 的最大值． 2022-04-17 19:06:50
19378 5d3945bd210b280220ed6993 高中 解答题 自招竞赛 $ABCD$ 为一凸四边形，$I_1,I_2$ 分别为 $\triangle A B C, \triangle D B C$ 内心，过点 $I_1,I_2$ 的直线分别交 $AB、DC$ 于点 $E、F$，分别延长 $ AB$ 和 $DC$，它们相交于点 $P$，且 $PE=PF$，求证：$A、B、C、P$ 四点共圆． 2022-04-17 19:04:50
19373 5d396efb210b28021fc78c9f 高中 解答题 自招竞赛 已知锐角三角形 $ABC$ 的三边长不全相等，周长为 $l$，$P$ 是其内部一动点，点 $P$ 在边 $BC、CA、AB$ 上的射影分别为 $D,E,F$．求证：$2(A F+B D+C E)=l$ 的充分必要条件是：点 $P$ 在三角形 $ABC$ 的内心与外心的连线上． 2022-04-17 19:01:50
19368 5d3a6786210b280220ed6a3d 高中 解答题 自招竞赛 证明：若凸四边形 $ABCD$ 内任意一点 $P$ 到四条边 $AB,BC,CD,DA$ 的距离之和为定值，则 $ABCD$ 是平行四边形． 2022-04-17 19:58:49
19367 5d3a9284210b28021fc78d3d 高中 解答题 自招竞赛 凸多边形 $ABCD$ 有内切圆，该内切圆切边 $AB、BC、CD、DA$ 的切点分别为 $A_1、B_1、C_1、D_1$，连接 $A_1B_1、B_1C_1、C_1D_1、D_1A_1$，点 $E、F、G、H$ 分别为 $A_1B_1、B_1C_1、C_1D_1、D_1A_1$ 的中点．证明：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是 $ A、B、C、D$ 四点共圆． 2022-04-17 19:58:49
19306 5d3abf9d210b28021fc78d6b 高中 解答题 自招竞赛 设 $O$ 为锐角 $\triangle ABC$ 的 外心，$P$ 为 $\triangle AOB$ 内部一点，$P$ 在 $\triangle ABC$ 的 三边 $BC、CA、AB$ 上 的 射 影 分 别为 $D、E、F$．求 证：以 $F E、FD$ 为邻边的平行四边形位于 $ \triangle ABC$ 内． 2022-04-17 19:27:49
19304 5d3adbe7210b28021fc78d7e 高中 解答题 自招竞赛 在给定的梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$E$ 是 边 $ AB$ 上的动点，$O_1,O_2$ 分别是 $\triangle AED,\triangle BEC$ 的外心．求证：$O_1,O_2$ 的长为一定值． 2022-04-17 19:26:49
19297 5d3fb61d210b280220ed6d0e 高中 解答题 自招竞赛 $P$ 为圆 $O$ 外一点，过 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A、B$．设 $Q$ 为 $PO$ 与 $AB$ 的交点，过 $Q$ 作圆 $O$ 的任意一条弦 $CD$．
证明：$\triangle PAB$ 与 $\triangle PCD$ 有相同的内心．		 2022-04-17 19:22:49
19296 5d196e9b210b280220ed51d5 高中 解答题 自招竞赛 如下图
四边形 $ABCD$ 为圆内接四边形，$I_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$I_2$ 为 $\triangle ABD$ 的内心，$J_1$ 为 $\triangle BCD$ 的点 $D$ 所对的旁心，$J_2$ 为 $\triangle ACD$ 的点 $C$ 所对的旁心．		 2022-04-17 19:22:49
19280 5d41339a210b28021fc7908f 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB\ne AC$，$K$ 是中线 $AD$ 的中点，$DE\perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $ F$，直线 $KE、KF$ 分别与直线 $BC$ 相交于点 $M、N$，$\triangle DEM、\triangle DFN$ 的外心分别为 $O_1,O_2$．证
明：$O_{1} O_{2} \parallel B C$．		 2022-04-17 19:12:49
19278 5d4249bd210b28021fc790fd 高中 解答题 自招竞赛 如图在圆 $O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC、BD$ 互相垂直，弧 $\overparen{ADC}$ 与弧 $\overparen{ABC}$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $D$ 的直径与弦 $AN$ 交于点 $G、K$ 是 $CD$ 边上一点，满足 $GK\parallel NC$．证明：$BM\bot AK$． 2022-04-17 19:11:49
19263 5d427b88210b280220ed6f50 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB\ne AC$，$K$ 是中线 $AD$ 的中点，$DE\perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $ F$，直线 $KE、KF$ 分别与直线 $BC$ 相交于点 $M、N$，$\triangle DEM、\triangle DFN$ 的外心分别为 $O_1,O_2$．证
明：$O_{1} O_{2} \parallel B C$．		 2022-04-17 19:03:49
19258 5d43cefa210b280220ed7023 高中 解答题 自招竞赛 如图在圆 $O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC、BD$ 互相垂直，弧 $\overparen{ADC}$ 的中点为 $M$，过 $M,O,D$ 三点的圆与 $DA,DC$ 分别
交于点 $E、F$．证明：$BE= BF$．		 2022-04-17 19:01:49
19232 5d43fe2d210b28021fc79204 高中 解答题 自招竞赛 如图$PAB,PCD$ 是圆 $O$ 的两条割线，$AD,BC$ 相交于点 $Q,T$ 是线段 $BQ$ 上一点，线段 $PT$ 与圆 $O$ 交于点 $K$，直线 $QK$ 与线段 $PA$ 交于点 $S$．证明：若 $ST\parallel PQ$，则 $B,S,K,T$ 四点共圆． 2022-04-17 19:48:48
19229 5d4794c1210b28021fc792a4 高中 解答题 自招竞赛 如图$\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 与边 $BC,CA,AB$ 分别切于点 $D,E,F$，直线 $BI,CI,DI$ 分别与 $EF$ 交于点 $M,N,K$，直线 $BN$ 与 $CM$ 交于点 $P$，直线 $AK$ 与 $BC$ 交于点 $G$，过点 $I$ 垂直于 $PG$ 的直线与过点 $P$ 垂直于 $PB$ 的直线交于点 $Q$．证明：直线 $BI$ 平分线段 $PQ$． 2022-04-17 19:47:48
19222 5d479e63210b280220ed71a5 高中 解答题 自招竞赛 如图$\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 与边 $BC,CA,AB$ 分别切于点 $D,E,F$，直线 $BI,CI,DI$ 分别与 $EF$ 交于点 $M,N,K$，直线 $BN$ 与 $CM$ 交于点 $P$，直线 $AK$ 与 $BC$ 交于点 $G$，过点 $I$ 垂直于 $PG$ 的直线与过点 $P$ 垂直于 $PB$ 的直线交于点 $Q$．证明：直线 $BI$ 平分线段 $PQ$． 2022-04-17 19:42:48
19218 5d47a6c3210b280220ed71dd 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心．用 $\Gamma$ 表示以 $AI$ 为直径的圆．设 $\Gamma$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于点 $A$ 与 $D$，且 $D$ 在不含点 $B$ 的弧 $\overparen{AC}$ 上，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线，与圆 $\Gamma$ 交于 $A$ 及另一点 $E$（如图所示）．若 $DI$ 平分 $\angle CDE$，且 $\angle ABC=33^{\circ}$，求 $\angle BAC$ 的度数． 2022-04-17 19:40:48
19214 5d47c5ac210b28021fc79328 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，三边长 $BC=a,CA=b,AB=c$ 满足 $c<b<a<2c$．$P,Q$ 是 $\triangle ABC$ 边上的两点，且直线 $PQ$ 将 $\triangle ABC$ 分成面积相等的两部分．求线段 $PQ$ 长度的最小值． 2022-04-17 19:37:48
19213 5d47c826210b280220ed721f 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC>BC$．$\triangle ABC$ 的内切圆与边 $AB,BC,CA$ 分别相切于点 $D,E,F$，线段 $DE,EF,FD$ 的中点分别是 $L,M,N$．直线 $NL$ 与射线 $AB$ 交于点 $P$，直线 $LM$ 与射线 $BC$ 交于点 $Q$，直线 $NM$ 与射线 $AC$ 交于点 $R$．证明：$PA \cdot QB \cdot RC = PD \cdot QE \cdot RF$ 2022-04-17 19:37:48
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