$P$ 为圆 $O$ 外一点，过 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A、B$．设 $Q$ 为 $PO$ 与 $AB$ 的交点，过 $Q$ 作圆 $O$ 的任意一条弦 $CD$．
证明：$\triangle PAB$ 与 $\triangle PCD$ 有相同的内心．
证明：$\triangle PAB$ 与 $\triangle PCD$ 有相同的内心．
【难度】
【出处】
2001年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $R$ 为线段 $OP$ 与 $\odot O$ 的交点，$E$ 为 $PD$ 与 $\odot O$ 的交点（不同于 $D$）．
因为 $C Q \cdot Q D+A Q \cdot Q B=A Q^{2}, P Q \cdot Q O=A Q^{2}$，
所以 $C Q \cdot Q D=P Q \cdot Q O$．
所以 $P, C, O, D$ 四点共圆．
所以 $\angle O P C=\angle O D C=\angle O C D=\angle O P D$，即 $PO$ 为
$\angle CPD$ 的平分线．
又由 $P、C、O、D$ 四点共圆，得 $\angle C O R=\angle C D E$．
而 $\angle C O E=2 \angle C D E$，故 $\angle C O R=\angle R O E$，即有 $\overparen{C R}=\overparen{RE}$，从而 $\angle C D R=\angle E D R$，故 $R$ 为 $\triangle P C D$ 的内心．
又显然 $R$ 为 $\triangle P AB$ 的内心，所以命题成立．
因为 $C Q \cdot Q D+A Q \cdot Q B=A Q^{2}, P Q \cdot Q O=A Q^{2}$，
所以 $C Q \cdot Q D=P Q \cdot Q O$．
所以 $P, C, O, D$ 四点共圆．
所以 $\angle O P C=\angle O D C=\angle O C D=\angle O P D$，即 $PO$ 为
$\angle CPD$ 的平分线．
又由 $P、C、O、D$ 四点共圆，得 $\angle C O R=\angle C D E$．
而 $\angle C O E=2 \angle C D E$，故 $\angle C O R=\angle R O E$，即有 $\overparen{C R}=\overparen{RE}$，从而 $\angle C D R=\angle E D R$，故 $R$ 为 $\triangle P C D$ 的内心．
又显然 $R$ 为 $\triangle P AB$ 的内心，所以命题成立．
答案
解析
备注
