如图
在圆 $O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC、BD$ 互相垂直，弧 $\overparen{ADC}$ 与弧 $\overparen{ABC}$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $D$ 的直径与弦 $AN$ 交于点 $G、K$ 是 $CD$ 边上一点，满足 $GK\parallel NC$．证明：$BM\bot AK$．
在圆 $O$ 的内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC、BD$ 互相垂直，弧 $\overparen{ADC}$ 与弧 $\overparen{ABC}$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $D$ 的直径与弦 $AN$ 交于点 $G、K$ 是 $CD$ 边上一点，满足 $GK\parallel NC$．证明：$BM\bot AK$．【难度】
【出处】
2017中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图
连结 $NB$．由 $GK\parallel NC$ 及 $A,N,C,D$ 四点共圆知，$\angle A G K=\angle A N C=180^{\circ}-\angle A D C$，故 $A,G,K,D$ 四点共圆，从而有 $\angle A K G=\angle A D G$．又 $D B \perp A C$，所以 $\angle B D C=90^{\circ}-\angle A C D=\angle A D G$，从而 $\angle B N C=\angle B D C=\angle A D G=\angle A K G$．
结合 $G K \parallel N C$ 可知，$N B \parallel A K$，又由 $M,N$ 为圆 $O$ 的对径点知，$B M \perp N B$，从而 $B M \perp A K$．
连结 $NB$．由 $GK\parallel NC$ 及 $A,N,C,D$ 四点共圆知，$\angle A G K=\angle A N C=180^{\circ}-\angle A D C$，故 $A,G,K,D$ 四点共圆，从而有 $\angle A K G=\angle A D G$．又 $D B \perp A C$，所以 $\angle B D C=90^{\circ}-\angle A C D=\angle A D G$，从而 $\angle B N C=\angle B D C=\angle A D G=\angle A K G$．结合 $G K \parallel N C$ 可知，$N B \parallel A K$，又由 $M,N$ 为圆 $O$ 的对径点知，$B M \perp N B$，从而 $B M \perp A K$．
答案
解析
备注
