在给定的梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$E$ 是 边 $ AB$ 上的动点，$O_1,O_2$ 分别是 $\triangle AED,\triangle BEC$ 的外心．求证：$O_1,O_2$ 的长为一定值．
【难度】
【出处】
2002年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图
连结 $O_1E,O_{1} D, O_{2} E, O_{2} C$（不妨设 $\angle A\geqslant\angle B$）．注意到
$\angle E O_{1} D=360^{\circ}-2 \angle A=2\left(180^{\circ}-\angle A\right)=2\angle B$ 于是，有
$\angle O_{1} E D=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle E O_{1} D\right)=90^{\circ}-\angle B$
$\angle O_{2} E C=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle E O_{2} C\right)=90^{\circ}-\angle B$
从而，$\angle O_{1} E D=\angle O_{2} E C$．故 $\angle O_{1} E O_{2}=\angle D E C$．
另一方面，由正弦定理，可知
$\dfrac{D E}{\sin A}=2 E O_{1}, \dfrac{E C}{\sin B}=2 E O_{2}$．
又因为 $\sin A=\sin B$，故 $\dfrac{D E}{E {C}}=\dfrac{E \boldsymbol{O}_{1}}{E \boldsymbol{O}_{2}}$．
结合 $\angle O_{1} E O_{2}=\angle D E C$，可知 $\triangle D E C \sim \triangle O_{1} E O_{2}$．
所以，$\dfrac{O_{1} O_{2}}{C D}=\dfrac{E O_{1}}{D E}=\dfrac{1}{2 \sin A}$．
从而，$O_{1} O_{2}=\dfrac{C D}{2 \sin A}$ 为定值．
连结 $O_1E,O_{1} D, O_{2} E, O_{2} C$（不妨设 $\angle A\geqslant\angle B$）．注意到$\angle E O_{1} D=360^{\circ}-2 \angle A=2\left(180^{\circ}-\angle A\right)=2\angle B$ 于是，有
$\angle O_{1} E D=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle E O_{1} D\right)=90^{\circ}-\angle B$
$\angle O_{2} E C=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle E O_{2} C\right)=90^{\circ}-\angle B$
从而，$\angle O_{1} E D=\angle O_{2} E C$．故 $\angle O_{1} E O_{2}=\angle D E C$．
另一方面，由正弦定理，可知
$\dfrac{D E}{\sin A}=2 E O_{1}, \dfrac{E C}{\sin B}=2 E O_{2}$．
又因为 $\sin A=\sin B$，故 $\dfrac{D E}{E {C}}=\dfrac{E \boldsymbol{O}_{1}}{E \boldsymbol{O}_{2}}$．
结合 $\angle O_{1} E O_{2}=\angle D E C$，可知 $\triangle D E C \sim \triangle O_{1} E O_{2}$．
所以，$\dfrac{O_{1} O_{2}}{C D}=\dfrac{E O_{1}}{D E}=\dfrac{1}{2 \sin A}$．
从而，$O_{1} O_{2}=\dfrac{C D}{2 \sin A}$ 为定值．
答案
解析
备注
