已知锐角三角形 $ABC$ 的三边长不全相等，周长为 $l$，$P$ 是其内部一动点，点 $P$ 在边 $BC、CA、AB$ 上的射影分别为 $D,E,F$．求证：$2(A F+B D+C E)=l$ 的充分必要条件是：点 $P$ 在三角形 $ABC$ 的内心与外心的连线上．
【难度】
【出处】
2004年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $BC= a, CA = b, AB = c$，不
妨设 $b\ne c$．如图所示，建立直角坐标系，设 $A(m,n), B(0, 0), C(a, 0),P(x,y)$．
由 $A F^{2}-B F^{2}=A P^{2}-B P^{2}$，得 $A F^{2}-(c-A F)^{2}=A P^{2}-B P^{2}$，所以 $2 c \cdot A F-c^{2}=(x-m)^{2}+(y-n)^{2}-x^{2}-y^{2},A F=\dfrac{m^{2}+n^{2}-2 m x-2 n y}{2 c}+\dfrac{c}{2}$；
又 $C E^{2}-A E^{2}=P C^{2}-A P^{2}$，
得 $C E^{2}-(b-C E)^{2}=P C^{2}-A P^{2}$，
所以 $2 b \cdot C E-b^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}-(x-m)^{2}-(y-n)^{2},C E=\dfrac{2 m x+2 n y-m^{2}-n^{2}-2 a x+a^{2}}{2 b}+\dfrac{b}{2}$．
由 $A F+B D+C E=\dfrac{l}{2}$，得
$\dfrac{m^{2}+n^{2}-2 m x-2 n y}{2 c}+\dfrac{c}{2}+x+\dfrac{2 m x+2 n y-m^{2}-n^{2}-2 a x+a^{2}}{2 b}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{l}{2}$
即 $\begin{aligned}{c}{\left(\frac{m}{b}-\frac{a}{b}-\frac{m}{c}+1\right) x+\left(\frac{n}{b}-\frac{n}{c}\right) y+\frac{a^{2}}{2 b}+\frac{b+c}{2}+} {\frac{m^{2}+n^{2}}{2}\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\right)-\frac{l}{2}=0}\end{aligned}$．
因为 $b \neq c, n \neq 0$，所以，满足条件的点 $P$ 在一条定直线上，由于内心、外心均满足% $2(AF+BD+CE) = l$，从而命题得证．
妨设 $b\ne c$．如图所示，建立直角坐标系，设 $A(m,n), B(0, 0), C(a, 0),P(x,y)$．
由 $A F^{2}-B F^{2}=A P^{2}-B P^{2}$，得 $A F^{2}-(c-A F)^{2}=A P^{2}-B P^{2}$，所以 $2 c \cdot A F-c^{2}=(x-m)^{2}+(y-n)^{2}-x^{2}-y^{2},A F=\dfrac{m^{2}+n^{2}-2 m x-2 n y}{2 c}+\dfrac{c}{2}$；
又 $C E^{2}-A E^{2}=P C^{2}-A P^{2}$，
得 $C E^{2}-(b-C E)^{2}=P C^{2}-A P^{2}$，
所以 $2 b \cdot C E-b^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}-(x-m)^{2}-(y-n)^{2},C E=\dfrac{2 m x+2 n y-m^{2}-n^{2}-2 a x+a^{2}}{2 b}+\dfrac{b}{2}$．
由 $A F+B D+C E=\dfrac{l}{2}$，得
$\dfrac{m^{2}+n^{2}-2 m x-2 n y}{2 c}+\dfrac{c}{2}+x+\dfrac{2 m x+2 n y-m^{2}-n^{2}-2 a x+a^{2}}{2 b}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{l}{2}$
即 $\begin{aligned}{c}{\left(\frac{m}{b}-\frac{a}{b}-\frac{m}{c}+1\right) x+\left(\frac{n}{b}-\frac{n}{c}\right) y+\frac{a^{2}}{2 b}+\frac{b+c}{2}+} {\frac{m^{2}+n^{2}}{2}\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\right)-\frac{l}{2}=0}\end{aligned}$．
因为 $b \neq c, n \neq 0$，所以，满足条件的点 $P$ 在一条定直线上，由于内心、外心均满足% $2(AF+BD+CE) = l$，从而命题得证．
答案
解析
备注
