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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19712 5cf0ec5c210b28021fc76c5a 高中 解答题 自招竞赛 设点 $D, E, F$ 分别在 $\triangle ABC$ 的三边 $B C, C A, A B$ 上，且 $\triangle A E F, \triangle B F D, \triangle C D E$ 的内切圆有相等的半径 $r$．又以 $r_0$ 和 $R$ 分别表示 $\triangle D E F$ 和 $\triangle A B C$ 的内切圆半径，求证 $r+r_{0}=R$ 2022-04-17 19:03:53
19709 5d15a547210b280220ed5097 高中 解答题 自招竞赛 如图两圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 交于点A、B，过点 $B$ 的一条直线分别交圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 于点 $C、D$，过点 $B$ 的另一条直线分别交圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 于点 $E,F$，直线 $CF$ 分别交圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 于点 $P,Q$．设 $M,N$ 分别是 $\overparen{P B}, \overparen{Q B}$ 的中点．．若 $CD=EF$，求证：$C,F,M,N$ 四点共圆． 2022-04-17 19:02:53
19688 5d15ce7c210b280220ed516a 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 外接圆 $\Gamma$ 上弧 $\overparen{BC}$ 的中点，点 $X$ 在弧 $\overparen{BD}$ 上，$E$ 是弧 $\overparen{ABX}$ 的中点，$S$ 是弧 $\overparen{AC}$ 上一点，直线 $SD$ 与 $BC$ 交于点 $R$，$SE$ 与 $AX$ 交于点 $T$．证明：若 $RT\parallel DE$，则 $\triangle ABC$ 的内心在直线 $RT$ 上． 2022-04-17 19:49:52
19672 5d19a4ca210b28021fc77b7f 高中 解答题 自招竞赛 如图在圆内接 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$ 为最大角，不含点 $A$ 的 弧 $\overparen{BC}$ 上两点 $D、E$ 分别为弧 $\overparen{ABC},\overparen{ACB}$ 的中点记过点 $A、B$ 且与 $AC$ 相切的圆为 $\odot O_1$，，过点 $A、E$ 且与 $AD$ 相切的圆为 $\odot O_2$，$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 交于点 $A、P$．证明：$ AP$ 平分 $\angle BAC$． 2022-04-17 19:40:52
19666 5d19e69b210b280220ed53b2 高中 解答题 自招竞赛 两个半径不相等的圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 交于点 $A、B$，点 $C、D$ 分别在圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 2上，且线段 $CD$ 以 为中点，延长 $DB$ 与圆 $\Gamma_1$ 交于点 $E$，延长 $CB$ 与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $F$，设线段 $CD、EF$ 的中垂线分别为 $l_1,l_2$．证明：
（1）$l_1$ 与 $l_2$ 相交；
（2）若 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$，则三条线段 $CA、AP、PE$ 能构成一个直角三角形．		 2022-04-17 19:36:52
19655 5d1af6a8210b280220ed548f 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB>AC$，$\angle BAC$ 的角平分线与边 $BC$ 交于点 $D$，点 $E,F$ 分别在边 $AB,AC$ 上，使得 $B,C ,F,E$ 四点共圆．证明：$\triangle D E E$ 的外心与 $\triangle A B C$ 的内心重合的充分必要条件是 $BE+CF= BC$． 2022-04-17 19:30:52
19648 5d1c4b28210b28021fc77dc4 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $A、B、D、E、F、C$ 依次为一个圆上的六个点，满足 $AB=AC$．直线 $AD$ 与 $BE$ 交于点 $P$，直线 $AF$ 与 $CE$ 交于点 $R$，直线 $BF$ 与 $CD$ 交于点 $Q$，直线 $AD$ 与 $BF$ 交于点 $S$，直线 $AF$ 与 $CD$ 交于点 $T$．点 $K$ 在线段 $ST$ 上，使得 $\angle S K Q=\angle A C E$．证明：$\dfrac{S K}{K T}=\dfrac{P Q}{Q R}$． 2022-04-17 19:27:52
19640 5d1d6fb8210b28021fc77eba 高中 解答题 自招竞赛 如图在凸四边形 $ABCD$ 中，$K、L、M、N$ 分别为边 $AB、BC、CD、DA$ 上的点，满足 $\dfrac{A K}{K B}=\dfrac{D A}{B C}, \dfrac{B L}{L C}=\dfrac{A B}{C D}, \dfrac{C M}{M D}=\dfrac{B C}{D A}, \dfrac{D N}{N A}=\dfrac{C D}{A B}$．
延长 $AB、DC$ 交于点 $E$，延长 $AD、BC$ 交于点 $F$．设 $\triangle AEF$ 的内切圆在边 $AE、AF$ 上的切点分别为 $S,T$，$\triangle CEF$ 的内切圆在边 $CE、CF$ 上的切点分别为 $U,V$，证明：若 $K、L、M、N$ 四点共圆，则 $S、T、U、V$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:25:52
19637 5d1d72b4210b280220ed5691 高中 解答题 自招竞赛 在平面中，对任意给定的凸四边形 $ABCD$，证明：存在正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$（其顶点可以按顺时针或逆时针标记），使得点 $A^\prime$ 与 $A$、点 $B^\prime$ 与 $B$、点 $C^\prime$ 与 $C$、点 $D^\prime$ 与 $D$ 分别不重合，且直线 $AA^\prime、BB^\prime、CC^\prime、DD^\prime$ 经过同一个点． 2022-04-17 19:23:52
19590 5d1dd368210b28021fc77fbd 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$\odot O,\odot I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆、内切圆，$\odot I$，与边 $BC$ 切于点 $D$，直线 $AO$ 与边 $BC$ 交于点 $X$，$AY$ 为边 $BC$ 上的高，$\odot O$ 在点 $B,C$ 处的切线交于点 $l$，$PQ$ 为过点 $I$ 的 $\odot O$ 直径．证明：$A、D、L$ 三点共线当且仅当 $P、X、Y、Q$ 四点共圆． 2022-04-17 19:56:51
19582 5d22cee3210b28021fc781ad 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $P$，$\triangle APD$ 的外接圆、$\triangle BPC$ 的外接圆分别与线段 $AB$ 交于另一点 $E、F,I、J$ 分别为 $\triangle ADE、\triangle BCF$ 的内心，线段 $IJ$ 与 $AC$ 交于点 $K$．证明：$A、I、K,E$ 四点共圆． 2022-04-17 19:50:51
19576 5ca5d9f3210b28107f52abda 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB<AC$，$O$ 是三角形的外心，$D$ 是 $\angle BAC$ 角分线上一点，$E$ 在 $BC$ 上，满足 $OE\parallel AD$，$DE\bot BC$，在射线 $EB$ 上取一点 $K$，满足 $EK=EA$，$\triangle ADK$ 外接圆与 $BC$ 交于另外一点 $P\ne D$，$\triangle ADK$ 外接圆与 $\triangle ABC$ 外接圆交于另外一点 $Q\ne A$，求证：$PQ$ 与 $\triangle ABC$ 外接圆相切． 2022-04-17 19:46:51
19561 5d2557b5210b280220ed5bf2 高中 解答题 自招竞赛 如图在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle B A D+2 \angle B C D=180^{\circ}$，$\angle B A D$ 的平分线交线段 $BD$ 于点 $E$，线段 $AE$ 的中垂线与直线 $CB、CD$ 分别交于点 $X、Y$．
证明：$A、X、C, Y$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:39:51
19557 5d25bf84210b280220ed5c90 高中 解答题 自招竞赛 如图圆 $\omega_1$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆，$AC$ 交 $BD$ 于 $E$，$AD$ 交 $BC$ 于 $F$．圆 $\omega_2$ 分别与线段 $ EB、EC$ 相切于点 $M、N$，且与圆 $\omega_1$ 相交于 $Q、R$ 两点，直线 $BC、AD$ 分别交直线 $MN $ 于点 $S、T$．
求证：$Q,R,S,T$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:37:51
19543 5d26af8b210b280220ed5e21 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 三条边的长度为 $BC=a, AC= b, AB = c$，$\Gamma$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆．
（1）若 $\Gamma$ 的 $\overparen{BC}$（不含 $A$）上有唯一的点 $P(P\ne B, P\ne C)$ 满足 $PA=PB+PC$，求 $a、b、c$ 所应满足的充分必要条件．
（2）设 $P$ 是（1）中所述的唯一的点证明：若 $AP$ 平分线段 $BC$，则 $\angle BAC < 60^\circ$．		 2022-04-17 19:31:51
19540 5d2832ea210b28021fc78584 高中 解答题 自招竞赛 如图在三角形 $ABC$ 中，$AB>AC$，$I$ 是其内心，$D$ 是 $I$ 在 $BC$ 边上的垂足．过 $A$ 作 $AH\bot BC$，与直线 $BI、CI$ 分别交于点 $P、Q$．设 $O$ 是 二角形 $IPQ$ 的外心，延长 $AO$ 交 $BC$ 边于点 $L$．设点 $N$ 是直线 $BC$ 与三角形 $AIL$ 的外接圆的第二个交点，证明：$\dfrac{B D}{C D}=\dfrac{B N}{C N}$． 2022-04-17 19:29:51
19531 5d2c2ff1210b28021fc78610 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，点 $DE$ 分别在边 $AB,AC$ 上，线段 $BE,DC$ 交于点 $H$，点 $M、N$ 分别为线段 $BD、CE$ 的中点．
证明：点 $H$ 为 $\triangle AMN$ 的垂心的充要条件是 $B,C,E,D$ 四点共圆且 $BE$ 上 $CD$．		 2022-04-17 19:25:51
19508 5d2d368e210b280220ed60ec 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 相交于点 $P、Q$．它们的一条外公切线分别切 $\odot O_1,\odot O_2$ 于点 $A、B$，过点 $A、B$ 的圆 $\Gamma$ 分别交 $\odot O_1,\odot O_2$ 于点 $D、C$．证明：$\dfrac{C P}{C Q}=\dfrac{D P}{D Q}$． 2022-04-17 19:13:51
19503 5d2d5e86210b28021fc786fe 高中 解答题 自招竞赛 如图已知 $ABCD$ 为圆内接四边形，$\angle BAC＝\angle DAC$．设 $\odot O_1,\odot O_2$ 分别为 $\triangle ABC、\triangle ADC$ 的内切圆．
证明：$\odot O_1,\odot O_2$ 的某一条外公切线与 $BD$ 平行．		 2022-04-17 19:10:51
19494 5d2d7950210b280220ed61d5 高中 解答题 自招竞赛 如图圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 内切于点 $T$．$M,N$ 是圆 $\omega_1$ 上不同于 $T$ 的不同两点．圆 $\omega_2$ 的两条弦 $AB,CD$ 分别过 $M,N$．
证明：若线段 $AC,BD,MN$ 交于同一点 $K$．求证：$TK$ 平分 $\angle MTN$．		 2022-04-17 19:05:51
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