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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27318 59538260d3b4f900086c4301 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=x_n-\ln x_n$，且 $x_1={\rm e}$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}<1$． 2022-04-17 21:05:03
27317 5953825ed3b4f900095c646f 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=x_n-\ln x_n$，且 $x_1={\rm e}$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}<1$． 2022-04-17 21:05:03
27316 590ada236cddca00092f7073 高中 解答题 自招竞赛 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，求 $\dfrac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)}$ 的最大值． 2022-04-17 21:04:03
27315 590ada816cddca00092f7079 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac 53$． 2022-04-17 21:04:03
27303 59546e50d3b4f90007b6fb25 高中 解答题 高中习题 设 $a_n=n(n+1)\cdot 2^n$，$n\in\mathbb N^*$． 2022-04-17 21:58:02
27295 590bd3416cddca00078f3a6e 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\] 2022-04-17 21:54:02
27240 590be3d66cddca000a081b6f 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\ln (ax+b)$，且 $a\neq 0$．若在 $f(x)$ 的定义域内恒有 $f(x)\leqslant x$，求 $a(a+b)$ 的最大值． 2022-04-17 21:26:02
27235 590bf0c0d42ca7000853754b 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 为三角形三边之长，$p=\dfrac{a+b+c}2$，$r$ 为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\] 2022-04-17 21:23:02
27224 590c1440d42ca7000853759f 高中 解答题 自招竞赛 ${a_1} , {a_2} , {a_3} , \cdots $ 是一个递增的正等差数列．$k$、$l$、$m$ 是给定的正整数．已知 ${a_k}$ 与 ${a_l}$ 的几何平均数大于 ${a_m}$ 与 ${a_n}$ 的算术平均数．求证：$\dfrac{{k + l}}{2} > \sqrt {mn} $． 2022-04-17 21:16:02
27203 590c1dd1d42ca700085375df 高中 解答题 高中习题 已知 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\ln \left(2^2+1\right)+\ln \left(3^2+1\right)+\cdots +\ln \left(n^2+1\right)<1+2\ln n!$． 2022-04-17 21:05:02
27192 590c2759857b4200085f8590 高中 解答题 高中习题 解不等式：$\sin x\cdot \sin 7x>\dfrac 14$． 2022-04-17 21:58:01
27187 590c2dbd857b4200092b069e 高中 解答题 高考真题 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=(x-a)^2+|x-a|-a(a-1)$． 2022-04-17 21:56:01
27181 591277a6e020e7000878f835 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_1}, {a_2} > 0$，${a_{n + 2}} = \dfrac{2}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}$．记 ${M_n} = \max \left\{ {{a_n}, \dfrac{1}{{{a_n}}}, {a_{n + 1}}, \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}}} \right\}$，求证：${M_{n + 3}} \leqslant \dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$． 2022-04-17 21:52:01
27174 590fbbab857b42000aca388e 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 为正项等比数列，且 ${a_3} + {a_4} - {a_1} - {a_2} = 5$，求 ${a_5} + {a_6}$ 的最小值． 2022-04-17 21:47:01
27133 5960eef03cafba0009670ba4 高中 解答题 高中习题 设正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$．求证：$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\leqslant 1$． 2022-04-17 21:24:01
27121 59101bf3857b4200092b080c 高中 解答题 自招竞赛 证明不等式：$1 \leqslant \sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} \leqslant {2^{\frac{3}{4}}}$，$x \in \left[ {0,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}} \right]$． 2022-04-17 21:19:01
27115 59101e6c857b4200085f871d 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $M\left( {1 , y} \right)$ 在抛物线 $C:{y^2} = 2px(p > 0)$ 上，$M$ 点到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为 $2$，直线 $l:y =- \dfrac{1}{2}x + b$ 与抛物线交于 $A,B$ 两点． 2022-04-17 21:16:01
27110 5927c20f74a309000997fc45 高中 解答题 高考真题 已知 $M$ 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 $f(x)\in M$，① 方程 $f(x)-x=0$ 有实数根；② 函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 满足 $0<f'(x)<1$． 2022-04-17 21:13:01
27087 591029a240fdc70009113dd8 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，令 $x_1=\dfrac12$，$x_{n+1}=f(x_n)$． 2022-04-17 21:00:01
27056 5959d8a0d3b4f9000ad5ea4c 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y\geqslant 0$，且 $(1+x)(1+y)=2$，求证：$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$． 2022-04-17 21:42:00
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