设 $a_n=n(n+1)\cdot 2^n$，$n\in\mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}<1$；标注答案略解析由于$$\dfrac{n+2}{a_n}=\dfrac{n+2}{n(n+1)\cdot 2^n}=\dfrac{1}{n\cdot 2^{n-1}}-\dfrac{1}{(n+1)\cdot 2^n},$$于是$$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}=1-\dfrac{1}{(n+1)\cdot 2^n}<1,$$原命题得证．
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求证：$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43$．标注答案略解析注意到当 $n\geqslant 3$ 时，有$$\dfrac{n+3}{n(n+1)}\leqslant \dfrac 12,$$于是有\[\begin{split} LHS&<1+\dfrac 5{24}+\dfrac 12\cdot \dfrac{1}{2^3}+\cdots +\dfrac 12\cdot \dfrac{1}{2^n}+\cdots \\
&=\dfrac{29}{24}+\dfrac{\dfrac{1}{16}}{1-\dfrac 12}\\
&=\dfrac 43,\end{split}\]原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
