已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=x_n-\ln x_n$，且 $x_1={\rm e}$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x-\ln x>1$，所以 $x_n>1$ 恒成立，于是有 $x_{n+1}-x_n=-\ln x_n<0$，所以数列 $\{x_n\}$ 单调递减，且 $x_n>1$．设 $f(x)=x-\ln x$，考虑 $f(x)-\sqrt x=x-\ln x-\sqrt x$，换元后等价于函数 $g(t)=t^2-2\ln t-t$，而\[g'(t)=\dfrac{2t^2-t-2}{t},\]于是函数 $g(t)$ 在 $\left(0,\dfrac {1+\sqrt{17}}{4}\right]$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4},\sqrt{\rm e}\right]$ 上单调递增．又\[g(1)=0,g(\sqrt 2)=2-\ln 2-\sqrt 2<0,\]于是当 $x\in (1,2)$ 时，有 $f(x)<\sqrt x$．因此\[\begin{split}\sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}&<\dfrac{x_1-x_2}{x_1\sqrt{x_1}}+\sum_{k=2}^{n}\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_kx_{k+1}}\\
&=\dfrac{x_1-x_2}{x_1\sqrt{x_1}}+\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{x_{k+1}}-\dfrac{1}{x_k}\right)\\
&<\dfrac{1}{{\rm e}\sqrt{\rm e}}+1-\dfrac{1}{{\rm e}-1}<\dfrac 23.\end{split}\]
&=\dfrac{x_1-x_2}{x_1\sqrt{x_1}}+\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{x_{k+1}}-\dfrac{1}{x_k}\right)\\
&<\dfrac{1}{{\rm e}\sqrt{\rm e}}+1-\dfrac{1}{{\rm e}-1}<\dfrac 23.\end{split}\]
答案
解析
备注
