已知 $f(x)=\ln (ax+b)$，且 $a\neq 0$．若在 $f(x)$ 的定义域内恒有 $f(x)\leqslant x$，求 $a(a+b)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12{\rm e}^3$
【解析】
显然有 $a>0$，否则当 $x\to-\infty$ 时，不等式不成立，容易证明$$f(x)=\ln(ax+b)\leqslant f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\dfrac a{ax_0+b}(x-x_0)+\ln(ax_0+b),$$令 $\dfrac a{ax_0+b}=1$ 得 $x_0=\dfrac {a-b}{a}$，有$$\ln(ax+b)\leqslant x-1+\dfrac ba+\ln a,$$要使得题中条件成立，有$$-1+\dfrac ba+\ln a\leqslant 0,$$即 $b\leqslant a(1-\ln a)$．所以有$$a(a+b)\leqslant 2a^2-a^2\ln a,$$记 $h(a)=2a^2-a^2\ln a,a>0$，有$$h'(a)=a(3-2\ln a),$$从而知 $h(a)$ 在 $\left(0,{\rm e}^{\frac 32}\right)$ 上单调递增，在 $\left({\rm e}^{\frac 32},+\infty\right)$ 上单调递减，从而知 $h(a)$ 有最大值$$h\left({\rm e}^{\frac 32}\right)=\dfrac 12{\rm e}^3.$$于是知 $a(a+b)$ 有最大值 $\dfrac 12{\rm e}^3$，当$$a={\rm e}^{\frac 32},b=a(1-\ln a)=-\dfrac 12{\rm e}^{\frac 32}$$时取到．
答案
解析
备注
