已知 $x,y\geqslant 0$，且 $(1+x)(1+y)=2$，求证：$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $s=1+x$，$t=1+y$，则有$$s>1,t>1,st=2.$$将 $x=s-1,y=t-1$ 代入所证不等式左边有$$LHS=\sqrt{1+(s-1)^2}\cdot\sqrt{1+(t-1)^2}=\sqrt{2(s+t-2)^2}\geqslant \sqrt 2\cdot(2\sqrt 2-2)=4-2\sqrt 2.$$当且仅当 $s=t=\sqrt 2$，即 $x=y=\sqrt 2-1$ 时取到等号．
答案
解析
备注
