已知 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac 53$．
【难度】
【出处】
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学科目试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由\[\forall n\in\mathbb N^*,\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\]可得\[\begin{split}\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}&<1+\dfrac{1}{2-\dfrac 12}-\dfrac{1}{2+\dfrac 12}+\dfrac{1}{3-\dfrac 12}-\dfrac{1}{3+\dfrac 12}+\cdots+\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\&=\dfrac 53-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\&<\dfrac 53,\end{split}\]故原命题得证．
答案
解析
备注
