已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_1}, {a_2} > 0$，${a_{n + 2}} = \dfrac{2}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}$．记 ${M_n} = \max \left\{ {{a_n}, \dfrac{1}{{{a_n}}}, {a_{n + 1}}, \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}}} \right\}$，求证：${M_{n + 3}} \leqslant \dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需要证明 ${a_{n + 3}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} , {a_{n + 4}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}$ 均不大于 $\dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
由柯西不等式$$\dfrac{1}{{a + b}} \leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{b},$$于是$$\begin{split}{a_{n + 3}}& = \dfrac{2}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}} \\ &\leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}}\\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot {a_n} + \dfrac{1}{4} \cdot {a_{n + 1}}.\end{split}$$类似的，\[\begin{split} \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} &= \dfrac{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}{2} = \dfrac{1}{4}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
{a_{n + 4}}&= \dfrac{2}{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}} \leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} = \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4}{a_{n + 2}} \\&= \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
\dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}&= \dfrac{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}}{2} = \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}\leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}}\\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{8}{a_n} + \dfrac{1}{8}{a_{n + 1}},\end{split}\]另一方面，${a_n}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_n}}},{a_{n + 1}}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}}$ 之中至少有两个数不大于 $1$．因此，${a_{n + 3}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} , {a_{n + 4}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}$ 均不大于 $\dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
综上所述，${M_{n + 3}} \leqslant \dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
由柯西不等式$$\dfrac{1}{{a + b}} \leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{b},$$于是$$\begin{split}{a_{n + 3}}& = \dfrac{2}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}} \\ &\leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}}\\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot {a_n} + \dfrac{1}{4} \cdot {a_{n + 1}}.\end{split}$$类似的，\[\begin{split} \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} &= \dfrac{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}{2} = \dfrac{1}{4}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
{a_{n + 4}}&= \dfrac{2}{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}} \leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} = \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{4}{a_{n + 2}} \\&= \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}}\leqslant \dfrac{1}{4}{a_n} + \dfrac{1}{2}{a_{n + 1}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}},\\
\dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}&= \dfrac{{{a_{n + 2}} + {a_{n + 3}}}}{2} = \dfrac{1}{{{a_n} + {a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}}}}\leqslant \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 2}}}}\\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{{{a_n}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}} + \dfrac{1}{8}{a_n} + \dfrac{1}{8}{a_{n + 1}},\end{split}\]另一方面，${a_n}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_n}}},{a_{n + 1}}$ 和 $\dfrac{1}{{{a_{n + 1}}}}$ 之中至少有两个数不大于 $1$．因此，${a_{n + 3}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 3}}}} , {a_{n + 4}} , \dfrac{1}{{{a_{n + 4}}}}$ 均不大于 $\dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
综上所述，${M_{n + 3}} \leqslant \dfrac{3}{4}{M_n} + \dfrac{1}{4}$．
答案
解析
备注
