证明不等式：$1 \leqslant \sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} \leqslant {2^{\frac{3}{4}}}$，$x \in \left[ {0,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}} \right]$．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为左边：$$\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} \geqslant \sin x + \cos x \geqslant 1,$$右边：\[\begin{split}\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} & \leqslant 2 \cdot \sqrt {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{2}} \\& = \sqrt {2\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{{\rm{\pi }}}{4}} \right)} \leqslant {2^{\frac{3}{4}}}.\end{split}\]所以原不等式得证．
答案
解析
备注
