题目 已知点 $M\left( {1 , y} \right)$ 在抛物线 $C:{y^2} = 2px(p > 0)$ 上，$M$ 点到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为 $2$，直线 $l:y =- \dfrac{1}{2}x + b$ 与抛物线交于 $A,B$ 两点．<br><img src="/static/images/e3d33d13eb5e4d8171640d4083682d1d.png" class="img-responsive" /> 问题1 求抛物线 $C$ 的方程； 答案1 ${y^2} = 4x$ 解析1 因为 $1 + \dfrac{p}{2} = 2$，所以 $p = 2$，抛物线 $C$ 的方程为 ${y^2} = 4x$． 备注1 问题2 若以 $AB$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切，求该圆的方程； 答案2 ${\left( {x - \dfrac{{24}}{5}} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16$ 解析2 根据中点弦结论 $AB$ 的中点 $M$ 满足 ${y_M} = 2 \cdot \left( { - 2} \right) =- 4$，于是 ${x_M} = 2\left( {b + 4} \right) $，半径为 $ 4$．<br/>另一方面，联立直线方程与抛物线方程，有$$ {\left({ - \dfrac{1}{2}x + b} \right)^2} = 4x,$$即$$ \dfrac{1}{4}{x^2} - \left({b + 4} \right)x + {b^2} = 0.$$所以$$ \left| {AB} \right| = \sqrt {1 + {{\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}\cdot \dfrac{{\sqrt {{{\left({b + 4} \right)}^2} - {b^2}} }}{{\frac{1}{4}}} = 2\sqrt 5\cdot \sqrt {8b + 16} = 8,$$解得 $b =- \dfrac{8}{5}$．<br/>因此圆的方程为 ${\left( {x - \dfrac{{24}}{5}} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16$． 备注2 问题3 若直线 $l$ 与 $y$ 轴负半轴相交，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值． 答案3 $\dfrac{{32\sqrt 3 }}{9}$ 解析3 $\triangle AOB$ 的面积\[\begin{split}{S_{\triangle AOB}} &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt 5\cdot \sqrt {8b + 16}\cdot \dfrac{{ - b}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }}\\& = 4\sqrt {\left( { - b} \right) \cdot \left( { - b} \right) \cdot \left( {2b + 4} \right)} \\& \leqslant 4\sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^3}}= \dfrac{{32\sqrt 3 }}{9}.\end{split}\]当且仅当 $b =- \dfrac{4}{3}$ 时取得等号．<br/>因此 ${S_{\triangle AOB}}$ 的最大值为 $\dfrac{{32\sqrt 3 }}{9}$． 备注3