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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20400 5c9c34ef210b280b2256c0fb 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $\Delta ABC$ 的内切圆 $\omega $ 与 $BC$ 相切于 $X$ 。 $Y$ 为 $AX$ 与圆 $\omega $ 的另一交点。 $P,Q$ 分别在 $AB,AC$ 上，使得 $PQ$ 与圆 $\omega $ 相切于 $Y$ 。已知 $AP=3,PB=4,AC=8$，则 $AQ=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:28:59
20394 5c9d80f3210b280b2397eb38 高中 解答题 自招竞赛 点 $B$ 在线段 $\overline{AC} $ 上，满足 $AB = 16$ 且 $BC = 4$ 。点 $D$ 和点 $E$ 在直线 $AC$ 同侧且三角形 $ABD$ 和三角形 $BCE$ 是等边三角形。 $M$ 是线段 $\overline {AE} $ 的中点，$N$ 是线段 $\overline {CD} $ 的中点。三角形 $BMN$ 的面积为 $x$ 。求 ${x^2}$ 2022-04-17 19:24:59
20387 5c9d8101210b280b2397eb59 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 三边长均为正整数且 $AB = AC$ 。 $I$ 是 $\angle B$ 和 $\angle C$ 角平分线的交点。若 $BI = 8$，求三角形 $ABC$ 周长的最小值。 2022-04-17 19:20:59
20043 5cb5b620210b280220ed1edb 高中 解答题 自招竞赛 如图，设 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\odot O$，$\angle BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $D$，$M$ 为 $BC$ 的中点．若 $\triangle ADM$ 的外接圆 $\odot Z$ 分别与 $AB$、$AC$ 交于 $P$、$Q$，$N$ 为 $PQ$ 的中点．证明： 2022-04-17 19:05:56
20036 5cb70134210b28021fc757ca 高中 解答题 自招竞赛 如图，设 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\odot O$，$\angle BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $D$，$M$ 为 $BC$ 的中点．若 $\triangle ADM$ 的外接圆 $\odot Z$ 分别与 $AB$、$AC$ 交于 $P$、$Q$，$N$ 为 $PQ$ 的中点，证明：$MN\parallel AD$ 2022-04-17 19:00:56
20024 5cc122f4210b28021fc75b8d 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的内心为 $I,D,E,F$ 分别是边 $BC,CA,AB$ 的中点，证明：直线 $DI$ 平分 $\triangle DEF$ 的周长． 2022-04-17 19:53:55
20017 5cc2c0e7210b28021fc75c0b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$ 且满足 $abc=2(a-1)(b-1)(c-1)$，是否存在边长均为整数的 $\triangle ABC$？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由． 2022-04-17 19:48:55
20006 5cceb81c210b28021fc75dfc 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\dfrac{1}{2}(\cos^2x-\sin^2x)-1,x\in\mathbf R$，将函数 $f(x)$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图像，设 $\triangle ABC$ 三个角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$． 2022-04-17 19:42:55
19990 5cd51b52210b280220ed2c1e 高中 解答题 自招竞赛 如图 ①，已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5,AC=\sqrt{34}$，沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折（点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动，点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动），得到如图 ② 所示的三棱柱 $ABE-DCF$． ① ② 2022-04-17 19:34:55
19226 5d479c7f210b280220ed718d 高中 解答题 高中习题 在三角形ABC中，证明：$$\frac{1}{1+\cos^2 B + \cos^2 C}+\frac{1}{1+\cos^2 C + \cos^2 A}+\frac{1}{1+\cos^2 A + \cos^2 B} \leqslant 2$$ 2022-04-17 19:45:48
19152 5c74ddb6210b284290fc23ae 高中 解答题 自招竞赛 在四边形 $ABCD$ 中，$CD=12$，$AD=10$，$BC=8$，$\angle A=\angle B={{60}^{\circ }}$ 。若 $AB=p+\sqrt{q}$，其中 $p$，$q$ 是正整数，求 $p+q$ 。 2022-04-17 19:02:48
19068 5c762045210b284290fc2540 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2008}$，求最小的正整数 $n$ 使得式子
$2\left( \cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha +\ldots +\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$
的值为整数．		 2022-04-17 19:17:47
19060 5c763c65210b284290fc2567 高中 解答题 自招竞赛 在直角 $\vartriangle ABC$ 中，$AB$ 是斜边，$AC=12$，$BC\text{=35}$，$CD$ 的 $AB$ 边上的高．设 $\omega $ 是以 $CD$ 为直径的圆．设 $I$ 是 $\vartriangle ABC$ 外一点，使得 $AI$ 与 $BI$ 均与圆 $\omega $ 相切．$\vartriangle ABI$ 的周长与 $AB$ 长度的比 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:13:47
19059 5c74ab88210b284290fc22ad 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=13 BC=14 CA=15$．$G$ 是三角形的重心，点 ${{A}^{\prime }} {{B}^{\prime }} {{C}^{\prime }}$ 分别四点 $A B C$ 绕点 $G$ 旋转 $180{}^\circ $ 所对应的点．求：$\vartriangle ABC$ 与 $\vartriangle {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$ 所围成区域的面积． 2022-04-17 19:12:47
19038 5c6f633e210b2801505273eb 高中 解答题 自招竞赛 位于 $\vartriangle ABC$ 内的点 $P$ 使得 $\angle PAB$，$\angle PBC$ 及 $\angle PCA$ 全相等．$\vartriangle ABC$ 三边长 $AB=13$，$BC=14$ 及 $CA=15$，且 $\angle PAB$ 的正切为 $\dfrac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:02:47
19036 5c6babaa210b281dbaa934b9 高中 解答题 自招竞赛 设 $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$，$\csc x+\cot x=\frac{m}{n}$，其中 $\frac{m}{n}$ 为最简分数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:01:47
19007 5d4a839d210b280220ed75da 高中 解答题 高中习题 已知 $a_{1}=\sqrt{2}, a_{n}=\sqrt{2+a_{n-1}}$，求数列通项公式 2022-04-17 19:44:46
19006 5d4a3571210b28021fc7954c 高中 解答题 高中习题 若 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^2 +6x+7 = 0$ 的两根，求 $\arctan x_{1} + \arctan x_{2}$ 2022-04-17 19:44:46
17277 59882b8a5ed01a000ba75c31 高中 解答题 自招竞赛 （10分）已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x-\cos^{2}x-\dfrac{1}{2},x\in\mathbb R$． 2022-04-17 19:52:30
17184 5e65bb66210b280d3611182e 高中 解答题 高考真题 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A$．
（1）求 $B$；
（2）若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围．		 2022-04-17 19:58:29
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