$\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A$．
（1）求 $B$；
（2）若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围．
（1）求 $B$；
（2）若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由题设及正弦定理得 $\sin A\sin \dfrac{A+C}{2}=\sin B\sin A$．
因为 $\sin A\ne 0$，所以 $\sin\dfrac{A+C}{2}=\sin B$．
由 $A+B+C=180^\circ$，可得 $\sin \dfrac{A+C}{2}=\cos\dfrac{B}{2}$，故 $\cos\dfrac{B}{2}=2\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}$．
因为 $\cos\dfrac{B}{2}\ne 0$，故 $\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}$，因此 $B=60^\circ$．
（2）由题设及（1）知 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a$．
由正弦定理得 $a=\dfrac{c\sin A}{\sin C}=\dfrac{\sin(120^\circ-C)}{\sin C}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\tan C}+\dfrac{1}{2}$．由于 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，故 $0^\circ<A<90^\circ,0^\circ<C<90^\circ$，由（1）知 $A+C=120^\circ$，所以 $30^\circ<C<90^\circ$，故 $\dfrac {1}{2}<a<2$，从而 $\dfrac{\sqrt{3}}{8}<S_{\triangle ABC}<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
因此，$\triangle ABC$ 面积的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{8},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$．
因为 $\sin A\ne 0$，所以 $\sin\dfrac{A+C}{2}=\sin B$．
由 $A+B+C=180^\circ$，可得 $\sin \dfrac{A+C}{2}=\cos\dfrac{B}{2}$，故 $\cos\dfrac{B}{2}=2\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}$．
因为 $\cos\dfrac{B}{2}\ne 0$，故 $\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}$，因此 $B=60^\circ$．
（2）由题设及（1）知 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a$．
由正弦定理得 $a=\dfrac{c\sin A}{\sin C}=\dfrac{\sin(120^\circ-C)}{\sin C}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\tan C}+\dfrac{1}{2}$．由于 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，故 $0^\circ<A<90^\circ,0^\circ<C<90^\circ$，由（1）知 $A+C=120^\circ$，所以 $30^\circ<C<90^\circ$，故 $\dfrac {1}{2}<a<2$，从而 $\dfrac{\sqrt{3}}{8}<S_{\triangle ABC}<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
因此，$\triangle ABC$ 面积的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{8},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$．
答案
解析
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