题目 如图 ①，已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5,AC=\sqrt{34}$，沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折（点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动，点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动），得到如图 ② 所示的三棱柱 $ABE-DCF$．<br><img src="/static/images/3bbaa75a98d10df6d764f3ff601fe044.png" class="img-responsive" /> ①<br><img src="/static/images/cab0cb676da1c2c10ec0ecf790c1cfb5.png" class="img-responsive" /> ② 问题1 若图 ② 中 $\triangle ABG$ 是直角三角形，这里 $G$ 是线段 $EF$ 上的点，试求线段 $EG$ 的长度 $x$ 的取值范围； 答案1 $[0,2.5)$ 解析1 由题设条件可知 $\triangle AEG,\triangle BEG$ 均为直角三角形，因此 $AG^2=AE^2+x^2,BG^2=BE^2+x^2$．由余弦定理 $AB^2=AE^2+BE^2-2AE\cdot BE\cos\angle AEB$，于是 $2x^2+AE^2+BE^2=AB^2=AE^2+BE^2-2AE\cdot BE\cos\angle AEB,x^2=-AE\cdot BE\cos\angle AEB<AE\cdot BE=t(5-t)=-t^2+5t\leqslant 2.5^2.$ 所以 $x\in[0,2.5)$．又对任意 $k\in[0,2.5),AE=EB=2.5,\angle AEB=\pi-\arccos\dfrac{k^2}{2.5^2}$，则 $x=\sqrt{-AE\cdot BE\cos\angle AEB}=k$，故 $x$ 的取值范围为 $[0,2.5)$． 备注1 问题2 若（1）中 $EG$ 的长度为取值范围内的最大整数，且线段 $AB$ 的长度取得最小值，求二面角 $C-EF-D$ 的值； 答案2 $\pi-\arccos\dfrac{8}{25}$ 解析2 因为 $AE\bot EF,BE\bot EF$，所以 $\angle AFB$ 就是二面角 $C-EF-D$ 的平面角，又由（1）知 $EG$ 的长度 $x$ 为 $[0,2.5)$ 的最大整数，因此 $x=2$．于是 $AB^2=t^2+(5-t)^2+4=2t^2-10t+29,t\in(0,5)$．因此 $t=2.5$ 时，线段 $AB$ 的长度取得最小值，由此得 $2=-\dfrac{25}{4}\cos\angle AEB,\angle AEB=\pi-\arccos\dfrac{8}{25}$． 备注2 问题3 在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥 $A-BFG$ 的体积． 答案3 $\dfrac{3\sqrt{561}-82}{24}$ 解析3 由（1），（2）知 $\angle AEB=\pi-\arccos\dfrac{8}{25}$，$AE=EB=\dfrac{5}{2},AG=BG=\dfrac{\sqrt{41}}{2},EG=2$，且 $EF=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{34-25}=3$．因为 $AE\bot EF,BE\bot EF,AE\bigcap BE=E$，所以 $EF\bot$ 平面 $EAB$，故 ${{V}_{A-BFG}}={{V}_{A-BEF}}-{{V}_{A-BEG}}=\dfrac{1}{3}\left({{S}_{\Delta AEB}}\cdot EF-{{S}_{\Delta AGB}}\cdot EG \right)=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{2}\left( A{{E}^{2}}\sin \angle AEB \right)EF-\dfrac{1}{2}B{{G}^{2}}EG\right]=\\\dfrac{1}{6}\left( \dfrac{25}{4}\sqrt{1-\dfrac{64}{625}}\times 3-\dfrac{41}{4}\times2 \right)=\dfrac{3\sqrt{561}-82}{24}.$ 备注3