已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$ 且满足 $abc=2(a-1)(b-1)(c-1)$，是否存在边长均为整数的 $\triangle ABC$？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
存在，三边长分别为 $3,7,8$ 或 $4,5,6$
【解析】
不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，显然 $c\geqslant 2$．若 $c\geqslant 5$，此时有 $\dfrac{1}{a}\leqslant\dfrac{1}{b}\leqslant\dfrac{1}{c}\leqslant\dfrac{1}{5}$，由 $abc=2(a-1)(b-1)(c-1)$ 可得 $\dfrac{1}{2}=(1-\dfrac{1}{a})(1-\dfrac{1}{b})(1-\dfrac{1}{c})\geqslant (\dfrac{4}{5})^3$，矛盾．故 $c$ 只能取 $2,3,4$．
① 若 $c=2$，则 $ab=(a-1)(b-1)$，得 $a+b=1$，又 $a\geqslant b\ge2$，故无解．
② 若 $c=3$，则 $3ab=4(a-1)(b-1)$，即 $(a-4)(b-4)=12$，又因为 $a\geqslant b\geqslant 3$，从而 $\begin{cases}
a-4=12\\
b-4=1\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a-4=6\\
b-4=2\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a-4=4\\
b-4=3\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=16\\
b=5\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=10\\
b=6\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=8\\
b=7\\
\end{cases}$ 其中能够构成三角形的只有 $a=8,b=7,c=3$．
③ 若 $c=4$，则 $2ab=3(a-1)(b-1)$，即 $(a-3)(b-3)=6$，又因为 $a\geqslant b\geqslant 4$，从而 $\begin{cases}
a-3=6\\
b-3=1\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a-3=3\\
b-3=2\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=9\\
b=4\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6\\
b=5\\
\end{cases}$ 其中能够构成三角形的只有 $a=6,b=5,c=4$．综上，存在边长均为整数的满足条件的 $\triangle ABC$，其三边长分别为 $3,7,8$ 或 $4,5,6$．
① 若 $c=2$，则 $ab=(a-1)(b-1)$，得 $a+b=1$，又 $a\geqslant b\ge2$，故无解．
② 若 $c=3$，则 $3ab=4(a-1)(b-1)$，即 $(a-4)(b-4)=12$，又因为 $a\geqslant b\geqslant 3$，从而 $\begin{cases}
a-4=12\\
b-4=1\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a-4=6\\
b-4=2\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a-4=4\\
b-4=3\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=16\\
b=5\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=10\\
b=6\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=8\\
b=7\\
\end{cases}$ 其中能够构成三角形的只有 $a=8,b=7,c=3$．
③ 若 $c=4$，则 $2ab=3(a-1)(b-1)$，即 $(a-3)(b-3)=6$，又因为 $a\geqslant b\geqslant 4$，从而 $\begin{cases}
a-3=6\\
b-3=1\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a-3=3\\
b-3=2\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=9\\
b=4\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6\\
b=5\\
\end{cases}$ 其中能够构成三角形的只有 $a=6,b=5,c=4$．综上，存在边长均为整数的满足条件的 $\triangle ABC$，其三边长分别为 $3,7,8$ 或 $4,5,6$．
答案
解析
备注
