如图，设 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\odot O$，$\angle BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $D$，$M$ 为 $BC$ 的中点．若 $\triangle ADM$ 的外接圆 $\odot Z$ 分别与 $AB$、$AC$ 交于 $P$、$Q$，$N$ 为 $PQ$ 的中点，证明：$MN\parallel AD$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $AB=c$，$BC=a$，$AC=b$．在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为 $\angle BAC$ 的平分线，所以 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，故有 $\dfrac{BD}{BD+DC}=\dfrac{AB}{AB+AC}$，因此有 $\dfrac{BD}{a}=\dfrac{c}{b+c}$，所以 $BD=\dfrac{ac}{b+c}$．又 $BM=\dfrac{a}{2}$，由 $BP\cdot BA=BD\cdot BM$ 得 $BP=\dfrac{BD\cdot BM}{AB}=\dfrac{a^{2}}{2(b+c)}$．由 $CQ\cdot CA=CM\cdot CD$ 得，$CQ=\dfrac{a^{2}}{2(b+c)}$，因此 $CQ=BP$．
如图，连结 $BQ$、$PC$，并设 $X$、$Y$ 分别为 $BQ$、$PC$ 的中点，易证 $XN$ 平行且等于 $MY$，所以四边形 $NXMY$ 为平行四边形．由 $CQ=BP$ 知 $NX=NY$，所以四边形 $NXMY$ 为菱形，从而 $MN$ 平分 $\angle XNY$．又 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$AB\parallel NX$，$AC\parallel NY$，所以 $MN\parallel AD$
如图，连结 $BQ$、$PC$，并设 $X$、$Y$ 分别为 $BQ$、$PC$ 的中点，易证 $XN$ 平行且等于 $MY$，所以四边形 $NXMY$ 为平行四边形．由 $CQ=BP$ 知 $NX=NY$，所以四边形 $NXMY$ 为菱形，从而 $MN$ 平分 $\angle XNY$．又 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$AB\parallel NX$，$AC\parallel NY$，所以 $MN\parallel AD$
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