已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\dfrac{1}{2}(\cos^2x-\sin^2x)-1,x\in\mathbf R$，将函数 $f(x)$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图像，设 $\triangle ABC$ 三个角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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若 $c=\sqrt{7},f(C)=0,\sin B=3\sin A$，求 $a,b$ 的值；标注答案$a=1,b=3$解析$f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\dfrac{1}{2}(\cos^2x-\sin^2x)-1\\=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\dfrac{1}{2}\cos 2x-1=\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})-1,f(C)=\sin(2C-\dfrac{\pi}{6})-1=0,$
所以 $\sin (2C-\dfrac{\pi}{6})=1$．因为 $2C-\dfrac{\pi}{6}\in(-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6})$，所以 $2C-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，所以 $C=\dfrac{\pi}{3}$．由余弦定理知 $a^2+b^2-2ab\cos \dfrac{\pi}{3}=7$，因为 $\sin B=3\sin A$，故由正弦定理知 $b=3a$．解得 $a=1,b=3$ -
若 $g(B)=0,\overrightarrow{m}=(\cos A,\cos B),\overrightarrow{n}=(1,\sin A-\cos A\tan B)$，求 $\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}$ 的取值范围．标注答案$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\in(0,1]$解析因为 $g(x)=\sin (2x+\dfrac{\pi}{6})-1$，所以 $g(B)=\sin(2B+\dfrac{\pi}{6})-1=0$，所以 $\sin (2B+\dfrac{\pi}{6})=1$．因为 $2B+\dfrac{\pi}{6}\in(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6})$，所以 $2B+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，即 $B=\dfrac{\pi}{6}$，$\overrightarrow{m}=\left(\cos A,\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right),\overrightarrow{n}=\left( 1,\sin A-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos A \right)$．于是 $\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=\cos A+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \sin A-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos A \right)=\dfrac{1}{2}\cos A+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin A=\sin \left( A+\dfrac{\pi}{6} \right)$．因为 $B=\dfrac{\pi}{6}$，所以 $A\in(0,\dfrac{5}{6}\pi)$，得 $A+\dfrac{\pi}{6}\in(\dfrac{\pi}{6},\pi)$．所以 $\sin(A+\dfrac{\pi}{6})\in(0,1]$，即 $\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\in(0,1]$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
