（10分）已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x-\cos^{2}x-\dfrac{1}{2},x\in\mathbb R$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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当 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5\pi}{12}\right]$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值和最大值；标注答案$f(x)$ 的最小值是 $-1-\dfrac{\sqrt 3}{2}$，最大值是 $0$解析\[\begin{split}f(x)&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x-\dfrac{1+\cos 2x}{2}-\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x-\dfrac{1}{2}\cos 2x-1\\&=\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)-1.\end{split}\]因为 $-\dfrac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant \dfrac{5\pi}{12}$，所以 $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant 2x-\dfrac{\pi}{3}\leqslant \dfrac{\pi}{2}$．
所以 $-1\leqslant \sin (2x-\dfrac{\pi}{6})\leqslant 1$，从而\[-1-1\leqslant \sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)-1\leqslant 0.\]则 $f(x)$ 的最小值是 $-2$，最大值是 $0$． -
设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对应边分别为 $a,b,c$，且 $c=\sqrt 3$，$f(c)=0$，若向量 $\overrightarrow{m}=(1,\sin A)$ 与向量 $\overrightarrow {n}=(2,\sin B)$ 共线，求 $a,b$ 的值．标注答案略，证明 $f(C)=\sin\left(2C-\dfrac{\pi}{6}\right)-1=0$，则\[\sin \left(2C-\dfrac{\pi}{6}\right)=1.\]因为 $0<C<\pi$，所以 $-\dfrac{\pi}{6}<2C-\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{11\pi}{6}$，所以 $2C-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，解得 $C=\dfrac{\pi}{3}$．
因为向量 $\overrightarrow{m}=(1,\sin A)$ 与向量 $\overrightarrow{n}=(2,\sin B)$ 共线，所以 $\sin B=2\sin A$，由正弦定理得，\[b=2a\cdots\cdots\text{ ① }\]由余弦定理得，$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\dfrac{\pi}{3}$，即\[a^{2}+b^{2}-ab=3\cdots\cdots\text{ ② }\]由 ①② 解得 $a=1$，$b=2$解析略
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
