设 $\alpha =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2008}$，求最小的正整数 $n$ 使得式子
$2\left( \cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha +\ldots +\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$
的值为整数．
$2\left( \cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha +\ldots +\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$
的值为整数．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
251
【解析】
由积化和差公式得
$2\cos{{k}^{2}}\alpha \sin k\alpha =\sin \left( {{k}^{2}}\alpha +k\alpha \right)-\sin \left( {{k}^{2}}\alpha-k\alpha \right)$
$=\sin\left( k\left( k+a \right)\alpha \right)-\sin \left( k\left( k-1 \right)\alpha \right)$．
因此
$2\left(\cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha+\ldots +\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^{n}{\left\{\sin \left( k\left( k+1 \right)\alpha \right)-\sin \left( k\left( k-1 \right)\alpha \right) \right\}}$
$=\sin\left( n\left( n+1 \right)\alpha \right)-\sin 0$
$=\sin\left( n\left( n+1 \right)\alpha \right)$．
当且仅当 $x$ 为 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ 的整数倍时，$\sin x$ 是一个整数，因此，$n\left(n+1 \right)$ 必须是1004的倍数．而 $1004={{2}^{2}}\cdot 251$，且251是一个素数，故 $n$ 和 $n+1$ 之中有一个为251的倍数．又 $250\cdot251$ 不是1004的倍数，而 $251\cdot 252$ 为1004的倍数，因此所求的最小值为251．
$2\cos{{k}^{2}}\alpha \sin k\alpha =\sin \left( {{k}^{2}}\alpha +k\alpha \right)-\sin \left( {{k}^{2}}\alpha-k\alpha \right)$
$=\sin\left( k\left( k+a \right)\alpha \right)-\sin \left( k\left( k-1 \right)\alpha \right)$．
因此
$2\left(\cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha+\ldots +\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^{n}{\left\{\sin \left( k\left( k+1 \right)\alpha \right)-\sin \left( k\left( k-1 \right)\alpha \right) \right\}}$
$=\sin\left( n\left( n+1 \right)\alpha \right)-\sin 0$
$=\sin\left( n\left( n+1 \right)\alpha \right)$．
当且仅当 $x$ 为 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$ 的整数倍时，$\sin x$ 是一个整数，因此，$n\left(n+1 \right)$ 必须是1004的倍数．而 $1004={{2}^{2}}\cdot 251$，且251是一个素数，故 $n$ 和 $n+1$ 之中有一个为251的倍数．又 $250\cdot251$ 不是1004的倍数，而 $251\cdot 252$ 为1004的倍数，因此所求的最小值为251．
答案
解析
备注
