在直角 $\vartriangle ABC$ 中，$AB$ 是斜边，$AC=12$，$BC\text{=35}$，$CD$ 的 $AB$ 边上的高．设 $\omega $ 是以 $CD$ 为直径的圆．设 $I$ 是 $\vartriangle ABC$ 外一点，使得 $AI$ 与 $BI$ 均与圆 $\omega $ 相切．$\vartriangle ABI$ 的周长与 $AB$ 长度的比 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
11
【解析】
如图所示，设 $E$，$F$ 分别是 $AI$，$BI$ 与圆的切点．设 $IE=IF=x$，$AE=AD=y$，$BD=BF=z$，$r$ 是圆 $\omega $ 的半径，$CD=h$，$k$ 是 $\vartriangle ABI$ 的面积，则 $h=\sqrt{yz}$，于是 $r=\dfrac{1}{2}\sqrt{yz}$．设 $s$ 是 $\vartriangle ABI$ 的半周长，则 $s=x+y+z$．一方面，$k=sr=\dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right)\sqrt{yz}$；另一方面，由海伦公式知，$k=\sqrt{\left(x+y+z \right)zyz}$．故 $4x=x+y+z$，即 $4x=x+AB$．因此 $x=\dfrac{AB}{3}$，故 $2s=2\cdot \dfrac{AB}{3}+2\cdot AB=\dfrac{8}{3}\cdot AB$，故 $m+n=11$．
答案
解析
备注
