重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15086 5d26fb64210b280220ed5f09 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$，满足 $S_{1}=1, S_{n+1}=\dfrac{\left(2+S_{n}\right)^{2}}{4+S_{n}}, n \geqslant 1$
证明：对每个正整数 $n$，有 $a_{n} \geqslant \dfrac{4}{\sqrt{9 n+7}}$．		 2022-04-17 19:29:10
15082 5d3a6fd0210b28021fc78cfe 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{0}=0$，$a_{n+1}=k a_{n}+\sqrt{\left(k^{2}-1\right) a_{n}^{2}+1}, n=0,1,2, \cdots$，其中 $k$ 为给定的正整数，证明：数列 $\{a_n\}$ 的每一项都是整数，且 $2 k | a_{2 n}, n=0,1,2, \cdots$． 2022-04-17 19:27:10
15069 5d4412ef210b280220ed7096 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $n$，定义 $\displaystyle f(n)=\sum\limits_{d\in D_n}\dfrac{1}{1+d}$，其中 $D_n$ 表示 $n$ 的所有正因子组成的集合．证明：对任意正整数 $m$，均有 $f(1)+f(2)+\ldots+f(m)<m$． 2022-04-17 19:21:10
15061 5d4791a0210b28021fc7929d 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{1}=1, \quad a_{2}=1, \quad a_{n+1}=\dfrac{n^{2} a_{n}^{2}+5}{\left(n^{2}-1\right) a_{n-1}}(n>1)$，问是否存在实数 $x, y(x \neq 0)$ 使得 $\dfrac{b_{n+2}+b_{n}}{b_{n+1}}$ 为常值数列，其中 $b_{n}=(n x+y) a_{n}$． 2022-04-17 19:16:10
15059 5e574321210b280d37822388 高中 解答题 高考真题 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,a_3=4,a_4=S_3$．数列 $\{b_n\}$ 满足：对每个 $n\in\mathbb{N}^{\ast},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$ 成等比数列．
（I）求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}},n\in\mathbb{N}^{\ast}$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<2\sqrt{n},n\in\mathbb{N}^{\ast}$．		 2022-04-17 19:15:10
15048 5ef85ead210b28017b0e2b86 高中 解答题 自招竞赛 已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\displaystyle S_n^2=\sum^n_{i=1}a_i^3$． 2022-04-17 19:07:10
15029 5f915286210b2863adb2715c 高中 解答题 自招竞赛 设 $\displaystyle a_1=1, a_n=n^2\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k^2}$（$n\geqslant 2$），求证： 2022-04-17 19:56:09
15027 5f9fc307210b2863acf5adce 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_0,a_1,a_2,\ldots ,a_n$ 是正整数，且 $a_0>a_1>a_2>\ldots>a_n>1$，并满足$$(1-\frac{1}{a_1})+(1-\frac{1}{a_2})+\ldots +(1-\frac{1}{a_n})=2(1-\frac{1}{a_0}).$$试求出 $(a_0,a_1,a_2,\ldots, a_n)$ 所有可能的解． 2022-04-17 19:54:09
15024 5fffb1ef210b28117636f9a3 高中 解答题 自招竞赛 对于 $a\in [1,2019]$，定义数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）：$x_0=a$，对于每个非负整数 $n$，$$x_{n+1}=\left\{\begin{aligned}
&1+1009x_n, ~~x_n\leqslant 2;\\
&2021-x_n,~~2<x_n\leqslant 1010;\\
&3031-2x_n, ~~1010<x_n\leqslant 1011;\\
&2020-x_n,~~x_n>1011.\\
\end{aligned}\right.$$若存在正整数 $k$，使得 $x_k=a$，则这样的正整数 $k$ 中的最小正整数称为数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的最小正周期．求数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的所有可能的最小正周期，并求当最小正周期为大于 $1$ 的奇数中的最小值时 $a$ 的值．		 2022-04-17 19:53:09
15012 60112e3f25bdad000ac4d233 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1,a_{n+1}+\frac{12}{6+a_n}=2$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．记 $\displaystyle T_n=\sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k}$，若 $T_n\geqslant 2018$．试求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:47:09
15003 60223aec25bdad0009f740af 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_0=1,a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}^2+1}$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．证明：$$2\prod^n_{i=1}(a_i^2+1)=\sum^n_{i=1}a_i+2.$$ 2022-04-17 19:42:09
14992 603f677f25bdad000ac4d8ec 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$ 和正实数 $C$．已知实数 $x_1,x_2,\ldots,x_{2n}$ 满足 $x_1+x_2+\ldots+x_{2n}=C,|x_{k+1}-x_k|<\frac{C}{n}$（$k=1,2,\ldots, 2n, x_{2n+1}=x_1$）．证明：存在 $n$ 个整数 $1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_n\leqslant 2n$，使得$$\left|x_{i_1}+x_{i_2}+\ldots+x_{i_n}-\frac{C}{2}\right|<\frac{C}{2n}$$ 2022-04-17 19:36:09
11695 59084d0e060a050008e622fc 高中 填空题 高考真题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $60$ 项和为 ． 2022-04-16 22:22:33
11682 590ac1596cddca000a081990 高中 填空题 高中习题 已知正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$ 成等比数列，公比 $q\in (1,2)$，则 $a_{2016}$ 取最小值时，$8q=$  ． 2022-04-16 22:17:33
11676 590bf026d42ca7000a7e7dec 高中 填空题 自招竞赛 设 $\displaystyle S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}$，则极限 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=$  ． 2022-04-16 22:14:33
11672 590c1ecd857b4200092b0626 高中 填空题 自招竞赛 数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=\dfrac {3+3x_n}{3+x_n}$，则数列 $\{x_n\}$ 的所有可能的极限乘积是 ． 2022-04-16 22:11:33
11669 590c39ce857b4200085f860e 高中 填空题 高中习题 设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\frac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathbb{N}^{\ast})$，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，现有下列命题：
1．当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前 $3$ 项依次为 $5,3,2$；
2．对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时，总有 $x_n=x_k$；
3．当 $n\geqslant 1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$；
4．对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=\left[\sqrt{a}\right]$．
其中真命题有 ．（写出所有真命题的编号，从小到大排序，如命题1，4正确则填 $14$．）		 2022-04-16 22:09:33
11668 590fe986857b420007d3e5db 高中 填空题 自招竞赛 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\left( {n + 2} \right){{\log }_2}\left( {n + 2} \right) - 2\left( {n + 1} \right){{\log }_2}\left( {n + 1} \right) + n{{\log }_2}n} \right] = $  ． 2022-04-16 22:08:33
11654 596322b53cafba0009670d2f 高中 填空题 自招竞赛 对正整数 $n$，设 $x_n$ 是关于 $x$ 的方程 $nx^3+2x-n=0$ 的实数根，记 $a_n=[(n+1)x_n](n=2,3,\cdots)$（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．则 $\dfrac 1{1005}(a_2+a_3+a_4+\cdots +a_{2011})=$  ． 2022-04-16 22:00:33
11651 596329613cafba0009670d59 高中 填空题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，$a_2=1$，$a_na_{n+1}a_{n+2}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}(n\in\mathbb N^*)$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_{2011}=$  ． 2022-04-16 22:59:32
0.188585s