数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=\dfrac {3+3x_n}{3+x_n}$，则数列 $\{x_n\}$ 的所有可能的极限乘积是 ．
【难度】
【出处】
2013年复旦大学千分考试题（节选）
【标注】
【答案】
$-3$
【解析】
如果数列 $\{x_n\}$ 存在极限 $a$，两边取极限得到$$a=\dfrac {3+3a}{3+a},$$解得 $a=\pm \sqrt 3$．
实际上，当 $x_1=\sqrt 3$ 时，就有 $x_n=\sqrt 3$；当 $x_1=-\sqrt 3$ 时，有 $x_n=-\sqrt 3$．
$\pm \sqrt 3$ 是迭代函数的不动点，当 $x_1\ne\pm \sqrt 3$ 时，利用不动点改造递推公式可得$$\dfrac {x_{n+1}-\sqrt 3}{x_{n+1}+\sqrt 3}=(2-\sqrt 3)\cdot\dfrac {x_n-\sqrt 3}{x_n+\sqrt 3},$$从而有$$\dfrac {x_n-\sqrt 3}{x_n+\sqrt 3}=\dfrac {x_1-\sqrt 3}{x_1+\sqrt 3}\cdot(2-\sqrt 3)^{n-1},$$所以绝大部分时候，数列 $\{x_n\}$ 的极限是 $\sqrt 3$．
实际上，当 $x_1=\sqrt 3$ 时，就有 $x_n=\sqrt 3$；当 $x_1=-\sqrt 3$ 时，有 $x_n=-\sqrt 3$．
$\pm \sqrt 3$ 是迭代函数的不动点，当 $x_1\ne\pm \sqrt 3$ 时，利用不动点改造递推公式可得$$\dfrac {x_{n+1}-\sqrt 3}{x_{n+1}+\sqrt 3}=(2-\sqrt 3)\cdot\dfrac {x_n-\sqrt 3}{x_n+\sqrt 3},$$从而有$$\dfrac {x_n-\sqrt 3}{x_n+\sqrt 3}=\dfrac {x_1-\sqrt 3}{x_1+\sqrt 3}\cdot(2-\sqrt 3)^{n-1},$$所以绝大部分时候，数列 $\{x_n\}$ 的极限是 $\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
