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对于 $a\in [1,2019]$，定义数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）：$x_0=a$，对于每个非负整数 $n$，$$x_{n+1}=\left\{\begin{aligned}
&1+1009x_n, ~~x_n\leqslant 2;\\
&2021-x_n,~~2<x_n\leqslant 1010;\\
&3031-2x_n, ~~1010<x_n\leqslant 1011;\\
&2020-x_n,~~x_n>1011.\\
\end{aligned}\right.$$若存在正整数 $k$，使得 $x_k=a$，则这样的正整数 $k$ 中的最小正整数称为数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的最小正周期．求数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的所有可能的最小正周期，并求当最小正周期为大于 $1$ 的奇数中的最小值时 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列的性质
【答案】
略
【解析】
定义函数：\begin{equation}\label{2018.KereanMO.6.1}f(x)=\left\{\begin{aligned}&1+1009x, x\leqslant 2;\\&2021-x, 2<x\leqslant 1010;\\&3031-2x, 1010<x\leqslant 1011;\\&2020-x, x>1011.\\\end{aligned}\right.\end{equation}则 $x_{n+1}=f(x_n)$（$n=0,1,\ldots$）．因为 $f:[1,2019]\to [1,2019]$，所以，由 $a\in [1,2019]$，知对于所有的非负整数 $n$，均有 $x_n\in [1,2019]$．设集合 $S=\{1,2,\ldots ,2018\}$．对于每个 $k\in S$，定义 $I_k=[k,k+1]$，则 $f$ 将 $I_1$ 映射到 $\cup^{2018}_{i=1010}I_i$，将 $I_{1010}$ 映射到 $I_{1009}\cup I_{1010}$，将 $I_{1009}$ 映射到 $I_{1011}$，将 $I_{1011}$ 映射到 $I_{1008}$，将 $I_{1008}$ 映射到 $I_{1012}, \ldots\ldots$ 将 $I_2$ 映射到 $I_{2018}$，将 $I_{2018}$ 映射到 $I_1$，如图定义：$f^{(1)}(x)=f(x), f^{(m)}(x)=f^{(m-1)}(x)$（$m=2,3,\ldots$）．则对于任意的正整数 $n, x_n=f^{(n)}(a)$．若 $n$ 为数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的最小正周期，则 $f^{(n)}(a)=a$．假设 $a\in I_{k_0}, k_0\in S$，对于 $r\in \{1,2,\ldots, n\}$，记 $f^{(r)}(a)\in I_{k_r}, k_r\in S$．则在上图中可得到一个长度为 $n$ 的圈：$I_{k_0}\to I_{k_1}\to \ldots \to I_{k_n}=I_{k_0}$．由上图，知不存在长度为 $3,5,\ldots, 2017$ 的圈，存在唯一的一个长度为 $2019$ 的圈：\begin{equation}\label{2018.KereanMO.6.2}I_{1010}\to I_{1010}\to I_{1009}\to I_{1011}\to I_{1008}\to \ldots \to I_2\to I_{2018}\to I_1\to I_{1010}.\end{equation}对于任意的整数 $a\in [1,2019]$，知满足 $x_0=a$ 的数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的最小正周期为 $2019$．于是，$2019$ 为最小正周期大于 $1$ 的奇数的最小值．由沙可夫斯基定理，知所有正偶数均为这个数列的最小正周期，所有不小于 $2019$ 的正奇数与 $1$（$a=\frac{3031}{3}$）均为这个数列的最小正周期．对于圈（\ref{2018．KereanMO．6．2}），设 $a_0\in I_{1010}$ 为对应着这个圈的初始条件．则$$a_0\in I_{1010}, f(a_0)\in I_{1010}, f^{(2)}(a_0)\in I_{1009}, \ldots, f^{(2018)}(a_0)\in I_1, f^{(2019)}(a_0)\in I_{1010}.$$设 $a_0=1010+t$（$t\in [0,1]$）．由于圈（\ref{2018．KereanMO．6．2}）中的每个箭头由（\ref{2018．KereanMO．6．1}）中的函数决定，于是，$$f(a_0)=1011-2t, f^{(2)}(a_0)=1009+4t, \ldots\ldots, f^{(2018)}(a_0)=1+4t, f^{(2018)}(a_0)=1+4t, f^{(2019)}(a_0)=1010+4036t.$$因为 $1010+4036t=a_0=1010+t$，所以，$t=0, a_0=1010$．从而，对于其他初始条件在周期为 $2019$ 的唯一的圈（\ref{2018．KereanMO．6．2}）中也一定会出现 $1010$．由于只有当 $x$ 为整数时，$f(x)\in \{1,2,\ldots ,2019\}$，则使得数列 $\{x_n\}$（$n\geqslant 0$）的最小正周期为 $2019$ 的初始条件一定为 $1$ 至 $2019$ 的整数．
答案 解析 备注
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