设 $a_0,a_1,a_2,\ldots ,a_n$ 是正整数，且 $a_0>a_1>a_2>\ldots>a_n>1$，并满足$$(1-\frac{1}{a_1})+(1-\frac{1}{a_2})+\ldots +(1-\frac{1}{a_n})=2(1-\frac{1}{a_0}).$$试求出 $(a_0,a_1,a_2,\ldots, a_n)$ 所有可能的解．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意知，对 $0\leqslant i\leqslant n$ 均有 $a_i\geqslant 2$，于是有$$2>2\left(1-\frac{1}{a_0}\right)=\left(1-\frac{1}{a_1}
\right)+\left(1-\frac{1}{a_2}\right)+\ldots +\left(1-\frac{1}{a_n}\right)>\frac{n}{2}.$$可得 $n<4$，由于 $n$ 是正整数，故 $n\in \{1,2,3\}$．
（1）当 $n=1$ 时，有 $\frac{2}{a_0}=1+\frac{1}{a_1}$，解得 $2a_1=a_0a_1+a_0$．注意到 $a_1>1$．从而 $2a_1=a_0a_1+a_0>2a_0$，即 $a_1>a_0$，这与 $a_0>a_1$ 矛盾．
（2）当 $n=2$ 时，有 $\frac{2}{a_0}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}$．由于 $a_0>a_1>a_2>1$，故 $\frac{1}{a_0}<\frac{1}{a_1}$ 且 $\frac{1}{a_0}<\frac{1}{a_2}$．从而 $\frac{2}{a_0}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}$ 是不可能的，故 $n=2$ 也不成立．
（3）当 $n=3$ 时，有 $1+\frac{2}{a_0}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$，则必定有 $a_3=2$，否则等式右边至多为 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}<1$．同理 $a_2=3$，不然等式右边至多为$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}<1.$$因此我们有 $\frac{1}{a_1}=\frac{1}{6}+\frac{2}{a_0}>\frac{1}{6}$，从而 $3<a_1<6$．当 $a_1=4$ 时，$a_0=24$；当 $a_1=5$ 时，$a_0=60$．
综上所述，$(a_0,a_1,a_2,\ldots, a_n)$ 所有可能的解为 $(24,4,3,2)$ 或 $(60, 5,3,2)$．
\right)+\left(1-\frac{1}{a_2}\right)+\ldots +\left(1-\frac{1}{a_n}\right)>\frac{n}{2}.$$可得 $n<4$，由于 $n$ 是正整数，故 $n\in \{1,2,3\}$．
（1）当 $n=1$ 时，有 $\frac{2}{a_0}=1+\frac{1}{a_1}$，解得 $2a_1=a_0a_1+a_0$．注意到 $a_1>1$．从而 $2a_1=a_0a_1+a_0>2a_0$，即 $a_1>a_0$，这与 $a_0>a_1$ 矛盾．
（2）当 $n=2$ 时，有 $\frac{2}{a_0}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}$．由于 $a_0>a_1>a_2>1$，故 $\frac{1}{a_0}<\frac{1}{a_1}$ 且 $\frac{1}{a_0}<\frac{1}{a_2}$．从而 $\frac{2}{a_0}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}$ 是不可能的，故 $n=2$ 也不成立．
（3）当 $n=3$ 时，有 $1+\frac{2}{a_0}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$，则必定有 $a_3=2$，否则等式右边至多为 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}<1$．同理 $a_2=3$，不然等式右边至多为$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}<1.$$因此我们有 $\frac{1}{a_1}=\frac{1}{6}+\frac{2}{a_0}>\frac{1}{6}$，从而 $3<a_1<6$．当 $a_1=4$ 时，$a_0=24$；当 $a_1=5$ 时，$a_0=60$．
综上所述，$(a_0,a_1,a_2,\ldots, a_n)$ 所有可能的解为 $(24,4,3,2)$ 或 $(60, 5,3,2)$．
答案
解析
备注
