已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_0=1,a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}^2+1}$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．证明：$$2\prod^n_{i=1}(a_i^2+1)=\sum^n_{i=1}a_i+2.$$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(15)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知，对任意 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$，有$$a_{n-1}^2+1=\frac{a_{n-1}}{a_n},$$结合 $a_0=1$，得$$2\prod^n_{i=1}(a_i^2+1)=\prod^n_{i=0}(a_i^2+1)=\prod^n_{i=0}\frac{a_i}{a_{i+1}}=\frac{a_0}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}}.~~~ ① $$又 $\frac{1}{a_n}=\frac{a_{n-1}^2+1}{a_{n-1}}=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$，即$$a_n=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$$结合 $a_0=1$，得$$2+\sum^n_{i=1}a_i=1+\sum^n_{i=0}a_i=1+\sum^n_{i=0}\left(\frac{1}{a_{i+1}}-\frac{1}{a_i}\right)=1+\frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{1}{a_{n+1}}~~~ ② $$由式 ①，② 可知结论成立．
答案
解析
备注
