已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1,a_{n+1}+\frac{12}{6+a_n}=2$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．记 $\displaystyle T_n=\sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k}$，若 $T_n\geqslant 2018$．试求 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $a_{n+1}+\frac{12}{6+a_n}=2$ 变形可得$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3}{a_n}+\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{4}=3\left(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{4}\right).$$因此数列 $\left\{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{4}\right\}$ 是以 $\frac{1}{a_1}+1=\frac{5}{4}$ 为首项，以 $3$ 为公比的等比数列，则$$\frac{1}{a_n}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\cdot3^{n-1}.$$于是$$\frac{1}{a_n}=\frac{5}{4}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{4},$$从而$$T_n=\sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k}=\sum^n_{k=1}\left(\frac{5}{4}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{4}\cdot \frac{1-3^n}{1-3}-\frac{n}{4}=\frac{5\cdot 3^n-2n-5}{8}.$$由 $T_n\geqslant 2018$，得 $5\cdot 3^n-2n-16149\geqslant 0$．易知 $f(n)=5\cdot 3^n-2n-16149$ 在正整数集上单调递增，又 $f(7)<0,f(8)>0$，所以 $n$ 的最小值为 $8$．
答案
解析
备注
