设 $\displaystyle S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}$，则极限 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=$ ．
【难度】
【出处】
2014年华中科技大学理科实验班选拔数学试题
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
因为\begin{align*}
\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^k}{\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k+1}-1\right]
\cdot\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}-1\right]}\\
&=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}-1}-\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k+1}-1}.
\end{align*}所以$$S_n=2-\dfrac 1{\left(\dfrac 32\right)^{n+1}-1},$$从而有 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=2$．
\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^k}{\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k+1}-1\right]
\cdot\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}-1\right]}\\
&=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k}-1}-\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{k+1}-1}.
\end{align*}所以$$S_n=2-\dfrac 1{\left(\dfrac 32\right)^{n+1}-1},$$从而有 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=2$．
题目
答案
解析
备注
