\[\begin{split}&\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\left( {n + 2} \right){{\log }_2}\left( {n + 2} \right) - 2\left( {n + 1} \right){{\log }_2}\left( {n + 1} \right) + n{{\log }_2}n} \right]\\ = & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\log }_2}{{\left( {n + 2} \right)}^{n + 2}} - {{\log }_2}{{\left( {n + 1} \right)}^{2n + 2}} + {{\log }_2}{n^n}} \right]
\\= &\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\log _2}\dfrac{{\left( {n + 2} \right) \cdot {{\left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot {{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^n}}}\\= &\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\log _2}\left[ {\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} \cdot {{\left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}} \cdot \dfrac{1}{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^n}}}} \right]\\ =& {\log _2}\left( {1 \cdot {\rm {e}} \cdot \dfrac{1}{{\rm {e}}}} \right) = 0.\end{split}\]