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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15659 5910079a857b4200085f86c9 高中 解答题 自招竞赛 设 ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^n} = {x_n} + {y_n}\sqrt 2 $，其中 ${x_n}$，${y_n}$ 为整数，求 $n \to +\infty $ 时，$\dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}}$ 的极限． 2022-04-17 19:45:15
15657 59101cb9857b420007d3e650 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，设曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上的点与 $x$ 轴上的点顺次构成等腰直角三角形 $\triangle O{B_1}{A_1}$，$\triangle {A_1}{B_2}{A_2}$，…，直角顶点在曲线 $y = \dfrac{1}{x}$ 上．试求 ${A_n}$ 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在极限． 2022-04-17 19:44:15
15656 59101e99857b4200092b0824 高中 解答题 自招竞赛 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）． 2022-04-17 19:43:15
15644 591186cde020e7000878f6ad 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_n} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}$，求 ${S_{2003}}$． 2022-04-17 19:35:15
15612 5912abf8e020e700094b0cdb 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${a^2} + a - 1 = 0$，${b^2} + b - 1 = 0$，$a < b$，设 ${a_1} = 1$，${a_2} = b$，${a_{n + 1}} + {a_n} - {a_{n - 1}} = 0$（$n \geqslant 2$），${b_n} = {a_{n + 1}} - a \cdot {a_n}$． 2022-04-17 19:16:15
15598 5912babae020e7000878fa0d 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明： 2022-04-17 19:08:15
15596 5912bd0ee020e70007fbee9a 高中 解答题 自招竞赛 如果正数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：${a_{n - 1}} + {a_{n + 1}} \geqslant 2{a_n}$（$n \geqslant 2$，$n \in \mathbb N$）． 2022-04-17 19:07:15
15595 5912be38e020e70007fbeeaa 高中 解答题 自招竞赛 正整数数列 $\{ {x_n}\} $，$\{ {y_n}\} $ 满足：${x_{n + 2}} = 2{x_{n + 1}} + {x_n}$，${y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + 2{y_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}_ + }$）．
证明：存在正整数 ${n_0}$，对任意正整数 $n > {n_0}$，有 ${x_n} > {y_n}$ 恒成立．		 2022-04-17 19:07:15
15572 595729c0d3b4f90007b6fcc1 高中 解答题 高中习题 对任意正整数 $n$，设 $a_n$ 是方程 $x^2+\dfrac xn=1$ 的正根． 2022-04-17 19:52:14
15568 59574937d3b4f90007b6fcf4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，令 $x_1=\dfrac12$，$x_{n+1}=f(x_n)$． 2022-04-17 19:50:14
15561 595c81036e0c650007a0427c 高中 解答题 高中习题 已知 $S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中 $k,n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:47:14
15544 596328913cafba0008337380 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\tan \alpha =\sqrt 2 -1$，函数 $f(x)=x^2\tan{2\alpha}+x\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$，其中 $\alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$． 2022-04-17 19:37:14
15543 59632df43cafba00083373ad 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m$ 为实数，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足：$S_n=\dfrac 98 a_n-\dfrac 43 \times 3^n+m$，且 $a_n \geqslant \dfrac{64}{3}$ 对任何的正整数 $n$ 恒成立．求证：当 $m$ 取到最大值时，对任何正整数 $n$ 都有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{3^k}{S_k}}<\dfrac 3{16}$． 2022-04-17 19:37:14
15538 596333bc3cafba000ac43f13 高中 解答题 自招竞赛 已知二次函数 $f(x)=x^2-tx+t(t\in\mathbb R)$，同时满足：
① 不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集有且只有一个元素；
② 若 $0<x_2<x_1$，总有不等式 $f(x_2)<f(x_1)$ 成立．
设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=f(n)$．		 2022-04-17 19:34:14
15533 596335de3cafba000ac43f3d 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．如果 $a_1=\dfrac 12$，$a_n=-5S_nS_{n-1}(n\geqslant 2)$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$． 2022-04-17 19:32:14
15531 596338453cafba0007613247 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=1$，$\displaystyle a_{n+1}=1+\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}$． 2022-04-17 19:30:14
15530 596339f03cafba000833746f 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$a_n=1-\dfrac{a_1+\cdots +a_{n-2}}{4}(n\geqslant 3)$，求 $a_n$ 的通项公式 $a_n$． 2022-04-17 19:30:14
15523 5964310fcbc472000a68b55f 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$S_{n}=1-a_{n}(n\in\mathbb N^{*})$，其中，$S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和． 2022-04-17 19:24:14
15519 596463f7e6a2e7000cc63b5b 高中 解答题 自招竞赛 在数列 $\{x_{n}\}$ 中，$x_{n}=p^{n}+q^{n}$，$p,q\in\mathbb R$，$x_{1}=1,x_{3}=4$． 2022-04-17 19:22:14
15518 59646ecde6a2e7000bb7ec10 高中 解答题 自招竞赛 已知 $k$ 为给定的正整数，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)S_n+3 $（$n\in \mathbb N^*$），其中 $S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．令 $b_n=\dfrac 1n\log_3(a_1a_2\cdots a_n)$（$n\in \mathbb N^*$），记 $\displaystyle T_k=\sum \limits_{i=1}^{2k}\left|b_i-\dfrac 32\right| $．若 $T_k \in \mathbb N^*$，求 $k$ 的所有可能值． 2022-04-17 19:21:14
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