已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$a_n=1-\dfrac{a_1+\cdots +a_{n-2}}{4}(n\geqslant 3)$，求 $a_n$ 的通项公式 $a_n$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{n}{2^{n-1}}$
【解析】
由题可得$$a_n=1-\dfrac{a_1+\cdots +a_{n-2}}{4}=a_{n-1}-\dfrac{a_{n-2}}{4},$$即$$a_n-\dfrac{a_{n-1}}{2}=\dfrac 12\left(a_{n-1}-\dfrac{a_{n-2}}{2}\right),$$所以 $\{a_{n+1}-\dfrac {a_{n}}{2}\}$ 是以 $\dfrac 12$ 为首项，以 $\dfrac 12$ 为公比的等比数列，故$$a_n-\dfrac {a_{n-1}}{2}=\dfrac{1}{2^{n-1}},$$从而$$2^{n-1}a_n=2^{n-2}a_{n-1}+1=\cdots =n,$$因此 $a_n=\dfrac {n}{2^{n-1}}$．
答案
解析
备注
