已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$S_{n}=1-a_{n}(n\in\mathbb N^{*})$，其中，$S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
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试求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$解析因为\[S_{n}=1-a_{n}\cdots\cdots\text{ ① }\]所以\[S_{n+1}=1-a_{n+1}\cdots\cdots \text{ ② }\]② $-$ ① 得$$a_{n+1}=-a_{n+1}+a_{n},$$故\[a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n},n\in\mathbb N^{*}.\]又 $n=1$ 时，$a_{1}=\dfrac{1}{2}$，所以\[a_{n}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n},n\in\mathbb N^{*}.\]
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设 $C_{n}=\dfrac{1}{1+a_{n}}+\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $P_{n}$，求证：$P_{n}>2n-\dfrac{1}{5}$．标注答案略解析由已知得\[\begin{split}P_{n}&=\dfrac{1}{1+a_{1}}+\sum\limits_{i=2}^{n}\left(\dfrac{1}{1-a_{i}}+\dfrac{1}{1+a_{i}}\right)+\dfrac{1}{1-a_{n+1}}\\&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}+2\sum\limits_{i=2}^{n}\dfrac{1}{1-a_{i}^{2}}\\&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}+2\sum\limits_{i=2}^{n}\dfrac{4^{i}}{4^{i}-1}\\&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}+2\sum\limits_{i=2}^{n}\left(1+\dfrac{1}{4^{i}-1}\right).\end{split}\]当 $n=1$ 时，$P_{1}=2>\dfrac{3}{2}$，结论成立；
当 $n\geqslant 2$ 时，\[\begin{split}P_{n}&>\dfrac{2}{3}+1+2(n-1)+2\sum\limits_{i=2}^{n}\dfrac{1}{4^{i}-1}\\&=2n-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{4^{2}-1}+2\sum\limits_{i=3}^{n}\dfrac{1}{4^{i}-1}\\&>2n-\dfrac{1}{5}.\end{split}\]综上知，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
