已知 $\tan \alpha =\sqrt 2 -1$，函数 $f(x)=x^2\tan{2\alpha}+x\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$，其中 $\alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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求 $f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)=x^2+x$解析由 $\tan \alpha =\sqrt 2-1$ 得 $\tan{2\alpha}=1$．
因为 $\alpha$ 为锐角，即 $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，所以 $0<2\alpha <\pi$，所以 $2\alpha =\dfrac{\pi}{4}$，进而得$$\sin \left(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=1.$$故$$f(x)=x^2+x.$$ -
若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=f(a_n)(n\in \mathbb N^*)$．求证：
（i）$a_{n+1}>a_n(n\in \mathbb N^*)$；
（ii）$1<\dfrac 1{1+a_1}+\dfrac 1{1+a_2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n}<2(n\geqslant 2,n\in \mathbb N^*)$．标注答案略解析（i）由条件知 $a_{n+1}=a_n^2+a_n$，当 $a_n>0$ 时，必有 $a_{n+1>0}$．
因为 $a_1=\dfrac 12>0$，所以 $a_n>0$．
又因为$$a_{n+1}-a_n=a_n^2>0,$$所以 $a_{n+1}>a_n$．
（ii）记$$g(n)=\dfrac 1{1+a_1}+\dfrac{1}{1+a_2}+\cdots +\dfrac{1}{1+a_n}(n\geqslant 2,n\in \mathbb N^*),$$因为$$g(n+1)-g(n)=\dfrac 1{1+a_{n+1}}>0,$$所以 $g(n)$ 随着 $n$ 的增大而递增，从而可知 $g(n)$ 的最小值为 $g(2)$．
由条件知，$a_1=\dfrac 12$，$a_2=\dfrac 34$，所以 $g(2)=\dfrac{26}{21}>1$，所以 $g(n)>1$．
又由 $a_{n+1}=a_n^2+a_n$，得$$\dfrac 1{a_{n+1}}=\dfrac 1{a_n(a_n+1)}=\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1{a_n+1},$$所以\[\begin{split}g(n)&=\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_2}+\dfrac 1{a_2}-\dfrac 1{a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_n}-\dfrac 1{a_{n+1}}\\&=\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_{n+1}}\\&=2-\dfrac 1{a_{n+1}}<2.\end{split}\]故 $1<g(n)<2$，即结论成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
