设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．如果 $a_1=\dfrac 12$，$a_n=-5S_nS_{n-1}(n\geqslant 2)$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$a_n=\begin{cases}\dfrac 12 ,n=1,\\-\dfrac 5{(5n-3)(nn-8)},n\geqslant 2.\end{cases}$
【解析】
设 $n\geqslant 2$，因为 $a_n=S_n-S_{n-1}$，所以$$S_n-S_{n-1}=-5S_nS_{n-1}.$$先证明 $S_n\ne 0(n\geqslant 1)$．
① $S_1=a_1=\dfrac 12\ne 0$．
① 假设 $S_{n-1}\ne 0$，如果 $S_n=0$，则由 $S_n-S_{n-1}=-5S_nS_{n-1}$ 知 $S_{n-1}=0$，矛盾．
由归纳法原理，知对一切 $n\geqslant 1$，都有 $S_n\ne 0$．
将等式 $S_n-S_{n-1}=-5S_nS_{n-1}$ 两边除以 $S_nS_{n-1}$，得 $\dfrac 1{S_n}-\dfrac 1{S_{n-1}}=5$，所以 $\left\{\dfrac 1{S_n}\right\}$ 是首项为 $2$，公差为 $5$ 的等差数列．
因此$$\dfrac 1{S_n}=2+5(n-1)=5n-3,$$从而 $S_n=\dfrac 1{5n-3},n\geqslant 1$，于是\[\begin{split}a_n&=S_n-S_{n-1}\\&=\dfrac 1{5n-3}-\dfrac 1{5n-8}\\&=-\dfrac 5{(5n-3)(5n-8)},n\geqslant 2,\end{split}\]即$$a_n=\begin{cases}\dfrac 12 ,n=1,\\-\dfrac 5{(5n-3)(nn-8)},n\geqslant 2.\end{cases}$$
① $S_1=a_1=\dfrac 12\ne 0$．
① 假设 $S_{n-1}\ne 0$，如果 $S_n=0$，则由 $S_n-S_{n-1}=-5S_nS_{n-1}$ 知 $S_{n-1}=0$，矛盾．
由归纳法原理，知对一切 $n\geqslant 1$，都有 $S_n\ne 0$．
将等式 $S_n-S_{n-1}=-5S_nS_{n-1}$ 两边除以 $S_nS_{n-1}$，得 $\dfrac 1{S_n}-\dfrac 1{S_{n-1}}=5$，所以 $\left\{\dfrac 1{S_n}\right\}$ 是首项为 $2$，公差为 $5$ 的等差数列．
因此$$\dfrac 1{S_n}=2+5(n-1)=5n-3,$$从而 $S_n=\dfrac 1{5n-3},n\geqslant 1$，于是\[\begin{split}a_n&=S_n-S_{n-1}\\&=\dfrac 1{5n-3}-\dfrac 1{5n-8}\\&=-\dfrac 5{(5n-3)(5n-8)},n\geqslant 2,\end{split}\]即$$a_n=\begin{cases}\dfrac 12 ,n=1,\\-\dfrac 5{(5n-3)(nn-8)},n\geqslant 2.\end{cases}$$
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备注
