设 ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^n} = {x_n} + {y_n}\sqrt 2 $，其中 ${x_n}$，${y_n}$ 为整数，求 $n \to +\infty $ 时，$\dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}}$ 的极限．
【难度】
【出处】
2000年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$ \sqrt 2 $
【解析】
根据题意有\[{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^n} = {x_n} - {y_n}\sqrt 2 ,\]于是$$\begin{cases}
{x_n} = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^n} + {{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^n}} \right], \cr
{y_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^n}} \right] . \cr
\end{cases}$$因此\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \sqrt 2 .\]
{x_n} = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^n} + {{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^n}} \right], \cr
{y_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^n}} \right] . \cr
\end{cases}$$因此\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \sqrt 2 .\]
答案
解析
备注
