题目 已知二次函数 $f(x)=x^2-tx+t(t\in\mathbb R)$，同时满足：<br/>① 不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集有且只有一个元素；<br/>② 若 $0<x_2<x_1$，总有不等式 $f(x_2)<f(x_1)$ 成立．<br/>设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=f(n)$． 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=2n-1$ 解析1 因为 ①，所以$$\Delta =t^2-4t=0,$$解得 $t=0$ 或 $t=4$．<br/>因为 ②，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，所以 $t=0$．<br/>因此 $f(x)=x^2$，故$$S_n=f(n)=n^2,$$所以$$a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1(n\geqslant 2).$$又因为 $a_1=1$ 也适合 $a_n=2n-1$，所以 $a_n=2n-1$． 备注1 问题2 求 $\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac 1{a_1a_3}+\dfrac 1{a_2a_4}+\dfrac 1{a_3a_5}+\cdots +\dfrac 1{a_na_{n+2}}\right)$． 答案2 $\dfrac 13$ 解析2 因为 $\dfrac 1{a_na_{n+2}}=\dfrac 14\left(\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1{a_{n+2}}\right)$，所以\[\begin{split}{\text{原式}}&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac 14\left(\dfrac 11-\dfrac 15+\cdots +\dfrac 1{2n-1}-\dfrac 1{2n+3}\right)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac 14\left(1+\dfrac 13-\dfrac 1{2n+1}-\dfrac 1{2n+3}\right)\\&=\dfrac 13.\end{split}\] 备注2