在半径为 $1$ 的圆周上，任意给定两个点集 $A,B$，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中 $B$ 的每段弧的长度都等于 $\dfrac{\pi}{m},m$ 是个自然数，用 $A^j$ 表示将集合 $A$ 沿反时针方向在圆周上转动 $\dfrac{j\pi}{m}(j=1,2,3,\cdots)$ 弧度所得的集合，求证：存在自然数 $k$，使得 $l\left(A^{k} \cap B\right) \geqslant \dfrac{1}{2 \pi} l(A) l(B)$ 这里 $l(X)$ 表示组成点集 $X$ 的互不相交的弧段的长度之和．
【难度】
【出处】
1989第4届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于半径为 $1$ 的圆周上的点集 $E$，用 $E^{(j)}$ 表示将 $E$ 沿顺时针方向在圆周上转动 $\dfrac{j\pi}{m}(j=1,2,3)$ 弧度所得的集合．设 $B$ 是由 $i_0$ 段互不相交的长度都是 $\dfrac{\pi}{m}$ 的弧组成，这 $i_0$ 段记为 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{i_{0}}$．于是 $l\left(A^{k} \cap B\right)=l\left(A \cap B^{(k)}\right)=\sum_{i=1}^{i_{0}} l\left(A \cap B_{i}^{(k)}\right), k=1,2, \cdots$ 又由于 $l(A)=\sum_{k=1}^{2 m} l\left(A \cap B_{i}^{(k)}\right), i=1,2, \cdots, i_{0}$ 就得到 $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2 m} l\left(A^{k} \cap B\right)= \sum_{k=1}^{2 m}\left(\sum_{i=1}^{i_{0}} i\left(A \cap B_{i}^{(k)}\right)\right)= \sum_{i=1}^{i_{0}} \sum_{k=1}^{2 m} l\left(A \cap B_{i}^{(k)}\right)=i_{0} l(A) \end{aligned}$ 因为 $2m$ 个数之和为 $i_{0} l(A)$，因此，在 $1,\cdots,2m$ 中至少有一个 $k_0$，使得 $l\left(A^{k_{0}} \cap B\right) \geqslant \frac{1}{2 m^{i_{0}}} i_{0} l(A)$ 注意到 $B$ 是 $i_0$ 段互不相交的长度都是 $\dfrac{\pi}{m}$ 的弧所组成 $l(B)=i_{0} \pi / m$ 既有 $l\left(A^{k_{0}} \bigcap B\right) \geqslant \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \dfrac{\pi}{m^{i_{0}} l(A)}=\dfrac{1}{2 \pi} l(A) \cdot l(B)$
答案
解析
备注
