已知 $m、n$ 是给定的大于 $1$ 的整数，且 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{m}$ 都是整数．．证明：存在整数集的一个子集 $T$，其元素个数 $|T| \leqslant 1+\frac{a_{m}-a_{1}}{2 n+1}$，且对每个 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，均有 $t \in T$ 及 $s \in[-n, n]$，使得 $a_{i}=t+s$．
【难度】
【出处】
2010第25届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a_{1}=a, a_{m}=b$，作带余除法 $b-a=(2 n+1) q+r(q, r \in \mathbf{Z}, 0 \leqslant r \leqslant 2 n)$ 取 $T=\{a+n+(2 n+1) k | k=0,1, \cdots, q\}$．
则 $|T|=q+1 \leqslant 1+\dfrac{b-a}{2 n+1}$，且集合 $B=\{t+s | t \in T, s=-n,-n+1, \cdots, n\}=\{a, a+1, \cdots, a+(2 n+1) q+2 n\}$
注意到 $a+(2 n+1) q+2 n \geqslant a+(2 n+1) q+r=b$
故每个 $a_i$ 均在 $B$ 中．
从而，结论成立．
则 $|T|=q+1 \leqslant 1+\dfrac{b-a}{2 n+1}$，且集合 $B=\{t+s | t \in T, s=-n,-n+1, \cdots, n\}=\{a, a+1, \cdots, a+(2 n+1) q+2 n\}$
注意到 $a+(2 n+1) q+2 n \geqslant a+(2 n+1) q+r=b$
故每个 $a_i$ 均在 $B$ 中．
从而，结论成立．
答案
解析
备注
